📂表現論

リー代数

定義¹

有限次元 実（複素）ベクトル空間 $\mathfrak{g}$が次のような二項演算 $[\cdot, \cdot] : \mathfrak{g} \times \mathfrak{g} \to \mathfrak{g}$を持てば リー代数^{Lie algebra}とする。

1. $[\cdot, \cdot]$が双線形^bilinearである。
   $$ [ax + by, z] = a[x, z] + b[y, z] $$
2. $[\cdot, \cdot]$が反対称^{skew-symmetric}である。
   $$ [x, y] = -[y, x] $$
3. $[\cdot, \cdot]$がヤコビ恒等式を満たす。
   $$ [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0 $$

説明

リー代数は $\mathfrak{g}$ のようにフラクトゥール体で表記する。$[\cdot, \cdot]$は ブラケット^bracketと読む。一般にリー代数ではブラケット演算は結合則を満たす必要はない。結合則は成り立たないが、その緩い版といえるヤコビ恒等式は成り立つ。

例

結合代数

$A$を結合代数とし、$\mathfrak{g}$を $A$ の部分空間とする。交換子 $[X, Y] = XY - YX$が $\mathfrak{g}$で閉じていれば、$\mathfrak{g}$はリー代数を成す。

3次元空間と外積

$\mathfrak{g} = \mathbb{R}^{3}$で$[\cdot, \cdot]$を3次元空間の外積とする。

$$ [\mathbf{x}, \mathbf{y}] = \mathbf{x} \times \mathbf{y} $$

すると $\mathfrak{g}$はリー代数を成す。