📂抽象代数

多様体上の代数

定義 ¹

$\mathbb{F}$を体、$A$を $\mathbb{F}$–ベクトル空間 とする。積^productと呼ばれる二項演算 $\times : A \times A \to A$が以下のように与えられたとき、$A$を $\mathbb{F}$ 上の 代数^{algebra over a field $\mathbb{F}$} とする。$x, y, z \in A$と $a, b \in \mathbb{F}$に関して、

1. 分配法則: $$ (x + y) \times z = x \times z + y \times z $$ $$ z \times (x + y) = z \times x + z \times y $$ ここで $+$ はベクトル空間 $A$ の加法である。

2. スカラー乗法との整合性: $$ (ax) \times (by) = (ab)(x \times y) $$

説明

簡単に $\mathbb{F}$–代数 とも呼ぶ。ベクトル空間には加法^additionとスカラー乗法^{scalar multiplication}が定義されているので、$\mathbb{F}$–代数は加法、スカラー乗法、積の三つの演算を持つ構造である。

条件1と2を同時に満たすということは簡単に言えば積 $\times$ が (双)線形写像 であるということだ。

種類

結合代数

$\mathbb{F}$–代数の積 $\times$ が結合律を満たすとき 結合代数^{associative algebra} と呼ぶ。

• 行列空間 $M_{n \times n}(\mathbb{R})$ または $M_{n \times n}(\mathbb{C})$。このとき積は 行列積 である。
• 群代数

非結合代数

$\mathbb{F}$–代数の積 $\times$ が結合律を満たさないとき 非結合代数^{non-associative algebra} と呼ぶ。

• 3次元の空間と外積
• リー代数: 一般にリー代数は非結合代数である。リー代数のブラケットは双線形なのでリー代数は体上の代数となる。