📂行列代数

行列のSN分解

定理¹

行列 $A \in M_{n \times n}(\mathbb{C})$に関して次が成り立つ唯一の分解が存在する。

$$ A = S + N $$

ここで $S$ は 対角行列、$N$ は 冪零行列である。

説明

これを SN 分解^{decomposition} または Jordan–Chevalley decomposition と呼ぶ。 $A$ は複素正方行列であること以外に何の条件もない。対角行列 $S$ は $A$ の固有値を対角成分として持つ。

証明

以下、 $A$ を行列かつ 線形変換であるものとして扱う。

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$A$ の互いに異なる固有値を $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \dots, \lambda_{k}$ とする。さらに $W_{\lambda_{i}}$ を $\lambda_{i}$ に対応する 一般化固有空間 とする。すると $W_{\lambda_{i}}$ は $A$–不変部分空間 であり、次が成り立つ。

$$ \mathbb{C}^{n} = W_{\lambda_{1}} \oplus W_{\lambda_{2}} \oplus \cdots \oplus W_{\lambda_{k}} $$

$A_{\lambda_{i}} = A|_{W_{\lambda_{i}}}$ とする。すると 次が成り立つ。

$$ A = A_{\lambda_{1}} \oplus A_{\lambda_{2}} \oplus \cdots \oplus A_{\lambda_{k}} = \begin{bmatrix} A_{\lambda_{1}} & O & \cdots & O \\ O & A_{\lambda_{2}} & \cdots & O \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ O & O & \cdots & A_{\lambda_{k}} \end{bmatrix} $$

ここで $N_{\lambda_{i}} = A_{\lambda_{i}} - \lambda_{i} I$ とする。すると $N_{\lambda_{i}}$ は $W_{\lambda_{i}}$ 上の 冪零変換（行列）である。 よって $A$ は次のようになる。

$$ \begin{align*} A &= \begin{bmatrix} \lambda_{1} I + N_{\lambda_{1}} & O & \cdots & O \\ O & \lambda_{2} I + N_{\lambda_{2}} & \cdots & O \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ O & O & \cdots & \lambda_{k} I + N_{\lambda_{k}} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \lambda_{1} I & O & \cdots & O \\ O & \lambda_{2} I & \cdots & O \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ O & O & \cdots & \lambda_{k} I \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} N_{\lambda_{1}} & O & \cdots & O \\ O & N_{\lambda_{2}} & \cdots & O \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ O & O & \cdots & N_{\lambda_{k}} \end{bmatrix} \end{align*} $$

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