広義固有空間
定義1 2
行列 $A \in M_{n \times n}(\mathbb{C})$の固有値 $\lambda$に対して、$\lambda$のすべての一般化固有ベクトルの集合を$W_{\lambda}$と表記し、一般化固有空間generalized eigenspaceと呼ぶ。
$$ W_{\lambda} = \left\{ \mathbf{v} \in \mathbb{C}^{n} : (A - \lambda I)^{k} \mathbf{v} = \mathbf{0} \text{ for some } k \in \mathbb{N} \right\} $$
説明
固有空間が固有値に対応するすべての固有ベクトルの空間であるように、一般化固有空間は固有値に対応するすべての一般化固有ベクトルの空間である。ある $\mathbf{v}$ が $(A - \lambda I)^{k} \mathbf{v} = \mathbf{0}$ を満たせば、$(A - \lambda I)^{k+1} \mathbf{v} = \mathbf{0}$ も満たすので、ある $K$ に対して $W_{\lambda}$ は次のように表せる。
$$ W_{\lambda} = \ker (A - \lambda I)^{K} $$
したがって $(A - \lambda I)$ の $W_{\lambda}$ への制限写像は冪零変換である。以下では行列 $A$ を行列であると同時に線形変換であるものとして扱う。
$$ N_{\lambda} := (A - \lambda I) |_{W_{\lambda}} \text{ is nilpotent.} $$
以下の**(d)** において、核は包含関係で単調性を持つので $m$ より大きな数に対しても成り立つ。一般には $m$ より小さいときにも成り立つことがあるが、その情報は与えない。十分大きな数をとれば**(d)**が成り立ち、その十分大きな数として $m$ で足りることを示している。
性質
(a) $W_{\lambda}$ は $A$–不変部分空間である。
(a’) 任意の定数 $\mu$ に対して、$W_{\lambda}$ は $(A - \mu I)$–不変である。
(b) 定数 $\mu \ne \lambda$ に関して、$(A - \mu I)$ の $W_{\lambda}$ への制限写像 $(A -\mu I)|_{W_{\lambda}}$ は一対一である。
(b’) 上記では $\mu$ を固有値であると仮定していないことに注意する。すなわち固有値 $\lambda$ に対して $A|_{W_{\lambda}}$ は一対一である。
(b’’) $A|_{W_{\lambda}}$ の固有値はただ一つ $\lambda$ のみである。
$\lambda$ を代数的重複度が $m$ である $A$ の固有値とする。次が成り立つ。
(c) $\dim (W_{\lambda}) \le m$（実は等号が成り立つ。）
(d) $W_{\lambda} = \ker (A - \lambda I)^{m}$
証明
(a)
任意の $\mathbf{v} \in W_{\lambda}$ に対して $(A - \lambda I)^{k} \mathbf{v} = \mathbf{0}$ とする。$A$ と $(A - \lambda I)$ は可換なので、次が成り立ち $A \mathbf{v} \in W_{\lambda}$ である。
$$ (A - \lambda I)^{k} (A \mathbf{v}) = A (A - \lambda I)^{k} \mathbf{v} = A \mathbf{0} = \mathbf{0} $$
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(a')
$\mathbf{v} \in W_{\lambda}$ に対して、$A \mathbf{v} \in W_{\lambda}$ であり $\mu I \mathbf{v} \in W_{\lambda}$ であるから成立する。
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(b)
線形変換が一対一であることを示すことは核が $\left\{ \mathbf{0} \right\}$ であることを示すのと同じである。 $\mathbf{v} \in W_{\lambda}$ とする。そして $(A - \mu I) \mathbf{v} = \mathbf{0}$ とする。ここで $\mathbf{v} \ne \mathbf{0}$ であると仮定する（そして矛盾が生じることを示す）。$k$ を $(A - \lambda I)^{k} \mathbf{v} = \mathbf{0}$ が成り立つ最小の整数とする。そして $\mathbf{y} = (A - \lambda I)^{k-1} \mathbf{v}$ ならば次が成り立つので $\mathbf{y} \in E_{\lambda}$ である。ここで $E_{\lambda} = \left\{ \mathbf{v} : (A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0} \right\}$ は $\lambda$ の固有空間である。
$$ \mathbf{y} \ne \mathbf{0}, \qquad (A - \lambda I)\mathbf{y} = \mathbf{0} $$
また $(A - \lambda I)$ と $(A - \lambda I)$ は可換なので次が成り立つ。
$$ (A - \mu I) \mathbf{y} = (A - \mu I) (A - \lambda I)^{k-1} \mathbf{v} = (A - \lambda I)^{k-1} (A - \mu I) \mathbf{v} = (A - \lambda I)^{k-1} \mathbf{0} = \mathbf{0} $$
したがって $\mathbf{y} \in E_{\mu}$ である。ところが異なる $\mu$ と $\lambda$ に対して $E_{\mu} \cap E_{\lambda} = \left\{ \mathbf{0} \right\}$ なので、$\mathbf{y} = \mathbf{0}$ である。これは前の $\mathbf{y} \ne \mathbf{0}$ という事実と矛盾する。したがって仮定が誤りであることが分かり、 $(A - \mu I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$ を満たす $\mathbf{v}$ は零ベクトルである。ゆえに $(A - \mu I)|_{W_{\lambda}}$ の核は $\left\{ \mathbf{0} \right\}$ であり、一対一である。
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(b')
$\mathbf{v} \ne \mathbf{0}$ に対して $A|_{W_{\lambda}} \mathbf{v} = \mu \mathbf{v}$ とする。$\mathbf{v} \in W_{\lambda}$ なので、ある $k$ に対して $(A - \lambda I)^{k} \mathbf{v} = \mathbf{0}$ である。すると次を得る。
$$ (A - \lambda I)^{k}\mathbf{v} = (\mu - \lambda)^{k} \mathbf{v} = \mathbf{0} $$
したがって $\mu = \lambda$ である。
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(c)
$A|_{W_{\lambda}}$ の特性多項式を $h(x)$ とする。$W_{\lambda}$ が $A$–不変であるので $h$ は $A$ の特性多項式 $f$ を割る。(b’) によって $A|_{W_{\lambda}}$ の固有値はただ $\lambda$ のみであるから、
$$ h(x) = (x - \lambda)^{d} $$
したがって $d = \dim (W_{\lambda}) \le m$ である。
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(d)
まず $\ker (A - \lambda I)^{m} \subset W_{\lambda}$ であることは自明である。
$W_{\lambda}$ は $A$–不変であり、$A_{W_{\lambda}}$ の特性多項式 $f$ は $A$ の特性多項式を割る。 そして $A|_{W_{\lambda}}$ の固有値はただ $\lambda$ のみであるので、$d \le m$ である $d$ に対して次が成り立つ。
$$ f(x) = (x - \lambda)^{d} $$
するとケイリー＝ハミルトンの定理によって次が成り立つ。
$$ f(A_{W_{\lambda}}) = (A_{W_{\lambda}} - \lambda I)^{d} = O $$
$$ \implies (A - \lambda I)^{d} \mathbf{v} = \mathbf{0}, \quad \forall \mathbf{v} \in W_{\lambda} $$
$d \le m$ なので、 $W_{\lambda} \subset \ker (A - \lambda I)^{m}$
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