📂行列代数

広義固有ベクトル

導入¹

行列の固有値問題とは、与えられた行列 $A \in M_{n \times n}(\mathbb{C})$ に対して次を満たすベクトル $\mathbf{0} \ne \mathbf{v} \in \mathbb{C}^{n}$ と定数 $\lambda \in \mathbb{C}$ を求める問題である。

$$ A \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v} \iff (A - \lambda I) \mathbf{v} = \mathbf{0} $$

このとき $\lambda$ を $A$ の固有値、$\mathbf{v}$ を $A$ の固有ベクトルという。$A$ が $n$ 個の線形独立な固有ベクトルを持つならば対角化が可能で、良い形に分解できる。しかし任意の行列が常に $n$ 個の線形独立な固有ベクトルを持つわけではない。そのような場合には適当な代替策を探して別の形に分解することを試みる。$A$ が正方行列でないときの特異値分解はその一例である。ここでは $A$ が正方行列であるが $n$ 個より少ない線形独立な固有ベクトルを持つ場合を扱う。

上の式からわかるように、固有ベクトルとはカーネル $\ker (A - \lambda I)$ の元でもある。$A$ が対角化不可能であるということは $\ker (A - \lambda I)$ の次元が十分に大きくない（= $n$ より小さい）ということである。ところでカーネルは同じ変換を繰り返すと単調に大きくなる。

$$ \ker(A - \lambda I) \subset \ker(A - \lambda I)^{2} \subset \cdots \subset \ker(A - \lambda I)^{k} \subset \cdots $$

つまり任意の自然数 $k$ に対して下の式を満たすベクトル $\mathbf{v}$ たちの集合を考えると、これは既存の固有ベクトルをすべて含む集合であり自然な一般化となる。

$$ (A - \lambda I)^{k} \mathbf{v} = \mathbf{0} $$

定義

行列 $A \in M_{n \times n}(\mathbb{C})$ が与えられたとしよう。任意の定数 $\lambda \in \mathbb{C}$ と自然数 $k \in \mathbb{N}$ に対して下の式を満たすベクトル $\mathbf{v}$ を $A$ の一般化固有ベクトル^{generalized eigenvector}と呼ぶ。

$$ (A - \lambda I)^{k} \mathbf{v} = \mathbf{0} \tag{1} $$

説明

ここで $\mathbf{v} \ne \mathbf{0}$ であるベクトルについて意味があるので、$(A - \lambda I)$ は可逆行列であってはならない。したがって $(1)$ における $\lambda$ は普通の^ordinary固有値と等しい。すなわち $(1)$ を満たす $\lambda$ には一般化固有値という名前は付かない。しかし定義から予想できるように、普通の固有ベクトルではない一般化固有ベクトルが存在する場合がある。

例えば $2 \times 2$ の行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ が与えられたとしよう。特性方程式 が $(\lambda - 1)^{2} = 0$ であるから、$A$ の固有値は代数的重複度(代数的重複度の説明へのリンク) が $2$ である固有値 $\lambda = 1$ が一つある。これに対応する（線形独立な）固有ベクトルは以下のように一つしかないため、$A$ は固有値による対角化が不可能である。

$$ \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \implies \mathbf{x}_{1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} $$

次に $k = 2$ の場合を見よう。下のように $\mathbf{x}_{1}$ と線形独立な $\mathbf{x}_{2}$ を見つけられる。

$$ \begin{align*} (A - \lambda I)^{2} \mathbf{x} = \mathbf{0} &\implies \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \\ &\implies \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \\ &\implies \mathbf{x}_{2} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \end{align*} $$

ところが固有ベクトル $\mathbf{x}_{1}$ と一般化固有ベクトル $\mathbf{x}_{2}$ を求める式を改めて見ると、結局 $\mathbf{x}_{2}$ は $(A - \lambda I)$ を作用させると $\mathbf{x}_{1}$ になるベクトルであることがわかる。

$$ \begin{align*} && (A - \lambda I) \mathbf{x}_{1} &= \mathbf{0} \\ && (A - \lambda I)^{2} \mathbf{x}_{2} = (A - \lambda I) \left[ (A - \lambda I) \mathbf{x}_{2} \right] &= \mathbf{0} \\ \implies && (A - \lambda I) \mathbf{x}_{2} &= \mathbf{x}_{1} \end{align*} $$

したがって固有値 $\lambda = 1$ に対応する一般化固有ベクトルは（普通の固有ベクトルを含めて）合計 $2$ 個である。この数が $\lambda = 1$ の代数的重複度と等しいのは偶然ではない。固有値の幾何的重複度は常に代数的重複度より小さいか等しいが、幾何的重複度はその固有値に対応する線形独立な普通の固有ベクトルの個数に等しく、代数的重複度はその固有値に対応する線形独立な一般化固有ベクトルの個数に等しい。

一般化固有空間

固有値 $\lambda$ に対する固有空間 $E_{\lambda}$ は $\lambda$ に対応する固有ベクトルが生成する空間を意味する。その拡張として、一般化固有空間^{generalized eigenspace} $W_{\lambda}$ を $\lambda$ に対応する一般化固有ベクトルが生成する空間として以下のように定義する。行列 $A \in M_{n \times n}(\mathbb{C})$ とその固有値 $\lambda$ に対して、

$$ W_{\lambda} = \left\{ \mathbf{v} \in \mathbb{C}^{n} : (A - \lambda I)^{k} \mathbf{v} = \mathbf{0} \text{ for some } k \in \mathbb{N} \right\} $$