📂行列代数

行列指数関数

定義¹

行列の指数関数 $\exp : M_{n \times n}(\mathbb{C}) \to M_{n \times n}(\mathbb{C})$を次のように定義し、これを 行列指数(関数)^{matrix exponential}と呼ぶ。

$$ \exp (X) = e^{X} := \sum\limits_{m=0}^{\infty} \dfrac{X^{m}}{m!} \tag{1} $$

このとき上の極限は行列の極限を意味する。

説明

指数関数の級数形 $e^{x} = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \dfrac{x^{n}}{n!}$のように定義される。こう定義するのは指数関数の定義である $\dfrac{d}{dt} e^{t} = e^{t}$を満たすためである。

$$ \dfrac{d}{dt} e^{Xt} = Xe^{Xt} $$

$X^{0}$は単位行列 $I$で定義する。実数上で定義される指数関数の性質に従う。$e^{X}$自体も$n \times n$行列であることに注意する。

性質

$X, Y \in M_{n \times n}(\mathbb{C})$、$\alpha, \beta \in \mathbb{C}$とする。すると次の行列指數関数は 🔒(26/01/01)次の性質を持つ。

(a) 任意の $X \in M_{n \times n}(\mathbb{C})$ に対して、級数 $(1)$ は収束し、$e^{X}$ は連続関数である。

(b) $e^{O} = I$ （$O$ は 零行列）

(c) $(e^{X})^{\ast} = e^{X^{\ast}}$

(d) $e^{X}$ は 可逆行列 であり $(e^{X})^{-1} = e^{-X}$ である。

(e) $e^{\alpha X + \beta Y} = e^{\alpha X} e^{\beta Y}$

(f) もし $XY = YX$ ならば、$e^{X+Y} = e^{X} e^{Y} = e^{Y} e^{X}$ である。

(g) もし $C \in \operatorname{GL}(n, \mathbb{C})$ なら、$e^{C X C^{-1}} = C e^{X} C^{-1}$ である。このとき $\operatorname{GL}(n, \mathbb{C})$ は 一般線形群 である。

(h) 対角行列 $D = [d_{ii}]$ に対して、$e^{D} = \begin{bmatrix} e^{d_{11}} & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & e^{d_{nn}} \end{bmatrix}$ である。

定理

$X \in M_{n \times n}(\mathbb{C})$ について、$e^{tX}$ は滑らかな曲線であり次が成り立つ。

$$ \dfrac{d}{dt} e^{tX} = X e^{tX} = e^{tX}X $$

関連項目

• 行列対数