📂表現論

ユークリッド群

定義¹

実数空間 $\mathbb{R}^{n}$ 上で定義されたすべての 平行移動変換 と 直交変換 の結合の集合を ユークリッド群^{Euclidean group} と呼び、 $\operatorname{E}(n)$ と表記する。これは、与えられた $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n}$ と $R \in \operatorname{O}(n)$ に対して、下のような写像 $( \mathbf{x}, R )$ たちの集合である。

$$ \operatorname{E}(n) := \left\{ ( \mathbf{x}, R ) : \forall \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n},\quad \forall R \in \operatorname{O}(n) \right\} \\[1em] \begin{align*} \text{where } ( \mathbf{x}, R ) : \mathbb{R}^{n} &\to \mathbb{R}^{n} \\ \mathbf{y} &\mapsto R\mathbf{y} + \mathbf{x} \end{align*} $$

ここで $\operatorname{O}(n)$ は 直交群 である。

説明

直感的にはユークリッド群はすべての平行移動、反射、回転の結合の集合である。

群

関数の合成 に関して 群 となる。2つの変換の合成について次が成り立つ。

$$ (\mathbf{x}_{1}, R_{1})(\mathbf{x}_{2}, R_{2})\mathbf{y} = (\mathbf{x}_{1}, R_{1})(R_{2}\mathbf{y} + \mathbf{x}_{2}) = R_{1}R_{2}\mathbf{y} + R_{1}\mathbf{x}_{2} + \mathbf{x}_{1} $$

$$ \implies (\mathbf{x}_{1}, R_{1})(\mathbf{x}_{2}, R_{2}) = (\mathbf{x}_{1} + R_{1}\mathbf{x}_{2}, R_{1}R_{2}) \tag{1} $$

• 結合律 $$ \begin{align*} \Big[ (\mathbf{x}_{1}, R_{1})(\mathbf{x}_{2}, R_{2}) \Big] (\mathbf{x}_{3}, R_{3}) &= (\mathbf{x}_{1} + R_{1}\mathbf{x}_{2}, R_{1}R_{2}) (\mathbf{x}_{3}, R_{3}) \\ &= (\mathbf{x}_{1} + R_{1}\mathbf{x}_{2} + R_{1}R_{2}\mathbf{x}_{3}, R_{1}R_{2}R_{3}) \\ &= (\mathbf{x}_{1} + R_{1}(\mathbf{x}_{2} + R_{2}\mathbf{x}_{3}), R_{1}(R_{2}R_{3})) \\ &= (\mathbf{x}_{1}, R_{1})(\mathbf{x}_{2} + R_{2}\mathbf{x}_{3}, R_{2}R_{3}) \\ &= (\mathbf{x}_{1}, R_{1}) \Big[ (\mathbf{x}_{2}, R_{2})(\mathbf{x}_{3}, R_{3}) \Big] \\ \end{align*} $$

• 単位元

  零ベクトル $\mathbf{0}$ と 単位行列 $I$ に対して、 $(\mathbf{0}, I)$ が $\operatorname{E}(n)$ の単位元となる。

• 逆元

  $(\mathbf{x}, R)$ の逆元は $(-R^{-1}\mathbf{x}, R^{-1})$ である。 $$ (\mathbf{x}, R)(-R^{-1}\mathbf{x}, R^{-1}) = (\mathbf{x} - RR^{-1}\mathbf{x}, RR^{-1}) = (\mathbf{0}, I) $$

部分群

平行移動 は線形ではないため $\operatorname{E}(n)$ は $\operatorname{GL}(n, \mathbb{R})$ の部分群にならない。ただし $\operatorname{GL}(n+1, \mathbb{R})$ の部分群となり次の集合と 同型 である。

$$ \left\{ \begin{bmatrix} R & \mathbf{x} \\ \mathbf{0}^{\mathsf{T}} & 1 \end{bmatrix} : R \in \operatorname{O}(n), \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n} \right\} $$

すなわち $\operatorname{E}(n)$ の元は $n+1$ 次元の アフィン変換 として表現される。この変換は $[\mathbf{y}, 1]^{\mathsf{T}} \mapsto [R\mathbf{y} + \mathbf{x}, 1]^{\mathsf{T}}$ のような写像であり、 $(1)$ の乗法規則に従う。

$$ \begin{bmatrix} R_{1} & \mathbf{x}_{1} \\ \mathbf{0}^{\mathsf{T}} & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} R_{2} & \mathbf{x}_{2} \\ \mathbf{0}^{\mathsf{T}} & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_{1}R_{2} & R_{1}\mathbf{x}_{2} + \mathbf{x}_{1} \\ \mathbf{0}^{\mathsf{T}} & 1 \end{bmatrix} $$

$$ \begin{bmatrix} R & \mathbf{x} \\ \mathbf{0}^{\mathsf{T}} & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} R^{-1} & -R^{-1}\mathbf{x} \\ \mathbf{0}^{\mathsf{T}} & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I & \mathbf{0} \\ \mathbf{0}^{\mathsf{T}} & 1 \end{bmatrix} $$

$\begin{bmatrix} R_{1} & \mathbf{x}_{1} \\ \mathbf{0}^{\mathsf{T}} & 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} R_{2} & \mathbf{x}_{2} \\ \mathbf{0}^{\mathsf{T}} & 1 \end{bmatrix} \in \operatorname{E}(n)$ とする。すると次が成り立つので、部分群判定法 により、$\operatorname{E}(n)$ は $\operatorname{GL}(n+1, \mathbb{R})$ の部分群である。

$$ \begin{bmatrix} R_{1} & \mathbf{x}_{1} \\[0.5em] \mathbf{0}^{\mathsf{T}} & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} R_{2}^{-1} & -R_{2}^{-1}\mathbf{x}_{2} \\[0.5em] \mathbf{0}^{\mathsf{T}} & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_{1}R_{2}^{-1} & R_{1}(-R_{2}^{-1}\mathbf{x}_{2}) + \mathbf{x}_{1} \\[0.5em] \mathbf{0}^{\mathsf{T}} & 1 \end{bmatrix} \in \operatorname{E}(n) $$

行列リー群

$\operatorname{E}(n)$ は $\operatorname{GL}(n+1, \mathbb{R})$ の閉部分群であるから 行列リー群 となる。関数 $f : \operatorname{GL}(n+1, \mathbb{R}) \to M_{n \times n}(\mathbb{R})$ を次のように定義する。与えられた行列の左上 $n \times n$ 部分だけを取る関数である。

$$ f (A) = \begin{bmatrix} A_{11} & \cdots & A_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{n1} & \cdots & A_{nn} \end{bmatrix}, \qquad A \in M_{(n+1) \times (n+1)}(\mathbb{R}) $$

すると $f$ は連続関数である。連続関数の閉集合に対する逆像は閉集合 であることを思い出す。$\operatorname{O}(n)$ は $M_{n \times n}$ において閉集合であるため、下の逆像も閉集合である。

$$ f^{-1}(\left\{ \operatorname{O}(n) \right\}) = \left\{ \begin{bmatrix} R & \mathbf{x} \\ \mathbf{y}^{\mathsf{T}} & z \end{bmatrix} : R \in \operatorname{O}(n), \mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{R}^{n}, z \in \mathbb{R} \right\} $$

さらに関数 $g$ を次のように定義する。与えられた行列の最後の行だけを取る関数である。

$$ g(A) = \begin{bmatrix} A_{n+1, 1} & A_{n+1, 2} & \cdots & A_{n+1, n+1} \end{bmatrix}, \qquad A \in M_{(n+1) \times (n+1)}(\mathbb{R}) $$

すると $g$ も連続関数であり、閉集合 $\left\{ \begin{bmatrix} 0 & \cdots & 0 & 1 \end{bmatrix} \right\}$ の逆像も閉集合である。

$$ g^{-1}(\left\{ \begin{bmatrix} 0 & \cdots & 0 & 1 \end{bmatrix} \right\}) = \left\{ \begin{bmatrix} A & \mathbf{x} \\ \mathbf{0}^{\mathsf{T}} & 1 \end{bmatrix} : A \in M_{n \times n}(\mathbb{R}), \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n} \right\} $$

閉集合の共通部分は閉集合 であるため $\operatorname{Sp}(n, \mathbb{R})$ は閉部分群となり、行列リー群である。

$$ \begin{align*} \operatorname{Sp}(n, \mathbb{R}) &= \left\{ \begin{bmatrix} R & \mathbf{x} \\ \mathbf{0}^{\mathsf{T}} & 1 \end{bmatrix} : R \in \operatorname{O}(n), \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n} \right\} \\ &= f^{-1}(\left\{ \operatorname{O}(n) \right\}) \cap g^{-1}(\left\{ \begin{bmatrix} 0 & \cdots & 0 & 1 \end{bmatrix} \right\}) \end{align*} $$