📂表現論

一般直交群

導入

直交群とは、直交行列の集合で行列積に関して群をなすものである。直交行列は内積を保存する行列であるため、直交群は内積を保存する行列の群とも見なせる。

$$ \begin{align*} \operatorname{O}(n) &= \left\{ Q \in M_{n \times n}(\mathbb{R}) : Q^{\mathsf{T}}Q = I \right\} \\ &= \left\{ Q \in M_{n \times n}(\mathbb{R}) : \braket{Q\mathbf{x}, Q\mathbf{y}} = \braket{\mathbf{x}, \mathbf{y}} \quad \forall \mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{R}^{n} \right\} \end{align*} $$

$n$次元ベクトル空間における標準内積は以下のように与えられる。

$$ \braket{\mathbf{x}, \mathbf{y}} = \mathbf{x}^{\mathsf{T}} \mathbf{y} = x_{1} y_{1} + \cdots + x_{n} y_{n} $$

これは対称双線形形式の一種であり、ベクトル空間 $\mathbb{R}^{n+k}$ 上で定義される以下の演算 $[\cdot, \cdot]$ も対称双線形形式となる。

$$ [\mathbf{x}, \mathbf{y}]_{n,k} = x_{1}y_{1} + \cdots + x_{n}y_{n} - x_{n+1}y_{n+1} - \cdots - x_{n+k}y_{n+k} $$

すると直交群の一般化として、$[\cdot, \cdot]_{n,k}$が保存されるある種の行列の集合を考えることができ、これが一般直交群である。

定義¹

上の表記法に従い、一般直交群^{generalized orthogonal group} $\operatorname{O}(n, k)$ を次のように定義する。

$$ \operatorname{O}(n, k) = \left\{ Q \in M_{(n+k) \times (n+k)}(\mathbb{R}) : [Q \mathbf{x}, Q \mathbf{y}]_{n,k} = [\mathbf{x}, \mathbf{y}]_{n,k} \quad \forall \mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{R}^{n+k} \right\} $$

説明

物理学を学んでいれば上の $[\cdot, \cdot]$ は見覚えがあるはずだ。物理学で特に関心を持って扱われるのは $\operatorname{O}(1, 3)$ で、これをローレンツ群^{Lorentz group}と呼ぶ。ローレンツ群については二つの定義が用いられるが、近年では $\operatorname{O}(1, 3)$ を好む傾向が強くなっているようだ。ただし $\operatorname{O}(3; 1)$ も依然としてよく用いられており、特に古い文献では $\operatorname{O}(3, 1)$ と表記されている場合が多いという。もちろん本質的には両者は同じなので、どの定義を使うかは好みの差と言える。

行列 $\Lambda$ を $n$ 番目成分までは $+1$、 $n+1$ 番目成分から $n+k$ 番目成分までは $-1$ であるような対角行列としよう。

$$ \Lambda = \begin{bmatrix} I_{n\times n} & O \\ O & -I_{k\times k} \end{bmatrix} \tag{1} $$

すると次が成り立つ。

$$ [\mathbf{x}, \mathbf{y}]_{n,k} = \mathbf{x}^{\mathsf{T}} \Lambda \mathbf{y} = \braket{\mathbf{x}, \Lambda \mathbf{y}} \tag{2} $$

また以下の定理から、上の定義が次と同値であることが分かる。

$$ \operatorname{O}(n, k) = \left\{ Q \in M_{(n+k) \times (n+k)}(\mathbb{R}) : Q^{\mathsf{T}} \Lambda Q = \Lambda \right\} $$

部分群

一般直交群は一般線形群 $\operatorname{GL}(n+k, \mathbb{R})$ の部分群である。部分群判定法により $A, B \in \operatorname{O}(n, k) \implies AB^{-1} \in \operatorname{O}(n, k)$ であることを示せばよい。 $A$ が $[\cdot, \cdot]_{n,k}$ を保存するので、

$$ [AB^{-1}\mathbf{x}, AB^{-1}\mathbf{y}]_{n,k} = [A(B^{-1}\mathbf{x}), A(B^{-1}\mathbf{y})]_{n,k} = [B^{-1}\mathbf{x}, B^{-1}\mathbf{y}]_{n,k} $$

$B$ が $[\cdot, \cdot]_{n,k}$ を保存するので、

$$ [B^{-1}\mathbf{x}, B^{-1}\mathbf{y}]_{n,k} = [B(B^{-1}\mathbf{x}), B(B^{-1}\mathbf{y})]_{n,k} = [\mathbf{x}, \mathbf{y}]_{n,k} $$

したがって $AB^{-1} \in \operatorname{O}(n, k)$ であるから $\operatorname{GL}(n+k, \mathbb{R})$ の部分群である。

$$ \operatorname{O}(n, k) \le \operatorname{GL}(n+k, \mathbb{R}) $$

行列リー群

$\operatorname{O}(n, k)$ は $\operatorname{GL}(n+k, \mathbb{R})$ の閉部分群であるので行列リー群となる。関数 $f : \operatorname{GL}(n+k, \mathbb{R}) \to M_{(n+k)\times(n+k)}(\mathbb{R})$ を次のように定義しよう。

$$ f(Q) = Q^{\mathsf{T}} \Lambda Q $$

すると $f$ は連続関数である。連続関数の閉集合に対する逆像は閉集合であることを思い出せ。 $Q \in \operatorname{O}(n, k)$ であることの必要十分条件は $Q^{\mathsf{T}} \Lambda Q = \Lambda$ であり、閉集合 $\left\{ \Lambda \right\}$ の逆像が $f^{-1}(\left\{ \Lambda \right\}) = \operatorname{O}(n, k)$ であるため、$\operatorname{O}(n, k)$ は $\operatorname{GL}(n+k, \mathbb{R})$ の閉部分群となり行列リー群である。

性質

$Q = \begin{bmatrix} q_{1} & \cdots & q_{n+k} \end{bmatrix}$ とする。 $e_{i}$ を標準基底ベクトルとする。

(a) $Q \in \operatorname{O}(n, k)$ ならば、 $[q_{i}, q_{j}]_{n,k} = [e_{i}, e_{j}]_{n,k}$ であり値は次の通りである。

$$ \begin{align*} [q_{i}, q_{j}]_{n,k} &= 0 && i \ne j \\ [q_{i}, q_{i}]_{n,k} &= 1 && 1 \le i \le n \\ [q_{i}, q_{i}]_{n,k} &=-1 && n+1 \le i \le n+k \\ \end{align*} $$

逆も成り立つ。

(b) $Q \in \operatorname{O}(n, k)$ に対して、 $\det (Q) = \pm 1$ である。

証明

(a)

以下の定理の証明から導かれる。

■

(b)

以下の定理の結果から、 $$ \det (Q^{\mathsf{T}} \Lambda Q) = \det (\Lambda) \implies (\det(Q))^{2} \det(\Lambda) = \det(\Lambda) \implies \det(Q) = \pm 1 $$

■

定理

$\Lambda$ を $(1)$ と等しいものとする。 $Q \in \operatorname{O}(n, k)$ であることの必要十分条件は $Q^{\mathsf{T}}\Lambda Q = \Lambda$ が成り立つことである。

$$ [Q \mathbf{x}, Q \mathbf{y}]_{n,k} = [\mathbf{x}, \mathbf{y}]_{n,k} \iff Q^{\mathsf{T}}\Lambda Q = \Lambda $$

証明

$(\implies)$

$Q = \begin{bmatrix} q_{1} & \cdots & q_{n+k} \end{bmatrix} \in \operatorname{O}(n, k)$ とする。すると $(2)$ により次が成り立つ。

$$ \begin{align*} Q^{\mathsf{T}} q Q &= \begin{bmatrix} –q_{1}^{\mathsf{T}}– \\ \vdots \\ –q_{n+k}^{\mathsf{T}}– \end{bmatrix} \Lambda \begin{bmatrix} \underset{\vert}{\overset{\vert}{q_{1}}} & \cdots & \underset{\vert}{\overset{\vert}{q_{n+k}}} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \braket{q_{1}, \Lambda q_{1}} & \braket{q_{1}, \Lambda q_{2}} & \cdots & \braket{q_{1}, \Lambda q_{n+k}} \\ \braket{q_{2}, \Lambda q_{1}} & \braket{q_{2}, \Lambda q_{2}} & \cdots & \braket{q_{2}, \Lambda q_{n+k}} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \braket{q_{n+k}, \Lambda q_{1}} & \braket{q_{n+k}, \Lambda q_{2}} & \cdots & \braket{q_{n+k}, \Lambda q_{n+k}} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} [q_{1}, q_{1}]_{{n,k}} & [q_{1}, q_{2}]_{{n,k}} & \cdots & [q_{1}, q_{n+k}]_{{n,k}} \\ [q_{2}, q_{1}]_{{n,k}} & [q_{2}, q_{2}]_{{n,k}} & \cdots & [q_{2}, q_{n+k}]_{{n,k}} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ [q_{n+k}, q_{1}]_{{n,k}} & [q_{n+k}, q_{2}]_{{n,k}} & \cdots & [q_{n+k}, q_{n+k}]_{{n,k}} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & & \cdots & -1 \end{bmatrix} \\ &= \Lambda \end{align*} $$

■

$(\impliedby)$

$[\cdot, \cdot]$ は双線形であるから、標準基底ベクトル $e_{i}$ に対して $[Qe_{i}, Qe_{j}] = [e_{i}, e_{j}]$ が成り立つことを示せば十分である。 $Q^{\mathsf{T}} g Q = g$ とする。上で計算したところによればこれは次のようになる。

$$ \begin{bmatrix} [q_{1}, q_{1}]_{{n,k}} & [q_{1}, q_{2}]_{{n,k}} & \cdots & [q_{1}, q_{n+k}]_{{n,k}} \\ [q_{2}, q_{1}]_{{n,k}} & [q_{2}, q_{2}]_{{n,k}} & \cdots & [q_{2}, q_{n+k}]_{{n,k}} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ [q_{n+k}, q_{1}]_{{n,k}} & [q_{n+k}, q_{2}]_{{n,k}} & \cdots & [q_{n+k}, q_{n+k}]_{{n,k}} \end{bmatrix} = g = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & & \cdots & -1 \end{bmatrix} $$

すなわち次が成り立つ。

$$ \begin{align*} [q_{i}, q_{j}]_{n,k} &= 0 && i \ne j \\ [q_{i}, q_{i}]_{n,k} &= 1 && 1 \le i \le n \\ [q_{i}, q_{i}]_{n,k} &=-1 && n+1 \le i \le n+k \\ \end{align*} $$

これは $[e_{i}, e_{j}]_{n,k}$ の値と等しい。

$$ \begin{align*} [q_{i}, q_{j}]_{n,k} &= 0 = [e_{i}, e_{j}]_{n,k} && i \ne j \\ [q_{i}, q_{i}]_{n,k} &= 1 = [e_{i}, e_{i}]_{n,k} && 1 \le i \le n \\ [q_{i}, q_{i}]_{n,k} &=-1 = [e_{i}, e_{i}]_{n,k} && n+1 \le i \le n+k \\ \end{align*} $$

そして $Qe_{i} = q_{i}$ が成り立つので次を得る。

$$ [Qe_{i}, Qe_{j}]_{n,k} = [q_{i}, q_{j}]_{n,k} = [e_{i}, e_{j}]_{n,k} $$

ゆえに $Q \in \operatorname{O}(n, k)$ である。

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