対称双線型形式
定義
$F$–ベクトル空間 $V$に対して次を満たす $B = V \times V \to F$ を 対称双線形形式symmetric bilinear formという。$v, u, w \in V$と$\lambda \in K$に対して、
- $B(v, u) = B(u, v)$
- $B(u + v, w) = B(u, w) + B(v, w)$
- $B(\lambda u, v) = \lambda B(u, v)$
説明
定義を展開すると対称双線形形式とは「2つのベクトルを1つのスカラーに対応させるもので、スカラーの値が2つのベクトルの順序に依らない関数」である。有限次元ではこれは対称行列に対応する。
反対称双線形形式
対称双線形形式の反対称バージョンとして、反対称双線形形式skew-symmetric bilinear formとは次を満たす $B = V \times V \to F$ をいう。$v, u, w \in V$と$\lambda \in K$に対して、
- $B(v, u) = -B(u, v)$
- $B(u + v, w) = B(u, w) + B(v, w)$
- $B(\lambda u, v) = \lambda B(u, v)$
例
$n$次元 実数空間 $\mathbb{R}^{n}$の内積が代表的な例である。
$$ \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} = x_{1}y_{1} + \cdots + x_{n}y_{n} = y_{1}x_{1} + \cdots + y_{n}x_{n} = \mathbf{y} \cdot \mathbf{x} $$
同様に実関数空間の内積も該当する。
$$ \braket{f, g} = \int f(x)g(x) dx = \int g(x)f(x) dx = \braket{g, f} $$
内積はその定義上で対称双線形形式になるが、対称双線形形式だからといって内積であるとは限らない。例えば $\mathbb{R}^{2n}$ 上で次のような演算を定義しよう。
$$ [\mathbf{x}, \mathbf{y}] = x_{1}y_{1} + \cdots + x_{n}y_{n} - x_{n+1}y_{n+1} - \cdots - x_{2n}y_{2n} $$
これは対称双線形形式になるが、内積にはならない。なぜなら $\mathbf{x} = \begin{bmatrix}1 & 1 & \cdots & 1 \end{bmatrix}^{\mathsf{T}} \ne \mathbf{0}$ に対して $[\mathbf{x}, \mathbf{x}] = 0$ だからだ。