📂表現論

行列リー群

定義¹

• 実数 $\mathbb{R}$ を複素数 $\mathbb{C}$ に置いても差し支えない。

以下の性質を満たす $\operatorname{GL}(n, \mathbb{R})$ の 部分群 $G$ を 行列リー群^{matrix Lie group} と呼ぶ。 $G$ の 数列 $\left\{ A_{n} \in G \right\}$ について、

$$ \lim\limits_{n \to \infty} A_{n} = A \implies A \in G \text{ or } A \notin \operatorname{GL}(n, \mathbb{R}) $$

上の収束は 行列の収束 を意味する。 $\operatorname{GL}(n, \mathbb{R})$ は 一般線形群 である。

説明

上の条件は $G$ が $\operatorname{GL}(n, \mathbb{R})$ の 閉部分集合である ことを要求する。つまり $\operatorname{GL}(n, \mathbb{R})$ の閉部分群^{closed subgroup} を行列リー群と呼ぶ。全体集合は閉集合であるため、 $\operatorname{GL}(n, \mathbb{R})$ はそれ自体で行列リー群となる。

種類

• 一般線形群 $\operatorname{GL}(n, \mathbb{R})$
  一般線形群はそれ自体で行列リー群である。

• 特殊線形群 $\operatorname{SL}(n, \mathbb{R})$

• 直交群 $\operatorname{O}(n)$

• 特殊直交群 $\operatorname{SO}(n)$

• ユニタリ群 $\operatorname{U}(n)$

• 特殊ユニタリ群 $\operatorname{SU}(n)$