ベクトル空間の直和の存在性
定理
次元が $n \ge 2$ の ベクトル空間 $V$ と $V$ の 部分空間 $W \lneq V$ が与えられているとしよう。すると $W$ と別の部分空間 $U$ が存在して次が成り立つ。
$$ V = W \oplus U $$
つまり、$V$ は任意の互いに異なる部分空間の 直和 として表せる。
説明
定理における $U$ を $W$ の 余部分空間complementary subspace と呼ぶこともある。$W$ の余部分空間が一意であるとは限らない。例えば $V = \mathbb{R}^{2}$ で $W = \span \left\{ (1,0) \right\}$ としよう。すると $W_{1} = \span \left\{ (0,1) \right\}$ と $W_{2} = \span \left\{ (1,1) \right\}$ はどちらも $W$ の余部分空間である。つまり、$\mathbb{R}^{2}$ は次のように表せる。 $$ \mathbb{R}^{2} = \span \left\{ (1,0 ) \right\} \oplus \span \left\{ (0,1) \right\} = \span \left\{ (1,0) \right\} \oplus \span \left\{ (1,1) \right\} $$
定理で次元を $n \ge 2$ とした理由は、$n = 1$ の場合には 自明な 直和 $V = V \oplus \left\{ \mathbf{0} \right\}$ のみが存在するからである。
証明
$n$次元ベクトル空間 $V$ の $k$次元部分空間 $W$ が与えられているとする。$W$ の基底を $\left\{ w_{1}, w_{2}, \ldots, w_{k} \right\}$ とする。すると次の補助定理から $V$ の基底 $\beta = \left\{ w_{1}, w_{2}, \dots, w_{k}, u_{1}, u_{2}, \dots, u_{n-k} \right\}$ を得ることができる。
$W \le V$ を $n$次元ベクトル空間 $V$ の部分空間とする。$\gamma = \left\{ \mathbf{v}_{1}, \dots, \mathbf{v}_{k} \right\}$ を $W$ の基底とする。すると $\gamma$ に適当な元を追加して $V$ の基底 $\beta = \left\{ \mathbf{v}_{1}, \dots, \mathbf{v}_{k}, \mathbf{v}_{k+1}, \dots, \mathbf{v}_{n} \right\}$ に拡張することができる。
$u_{1}, \dots, u_{n-k}$ は 線形独立 なので、$\left\{ u_{i} \right\}$ はこれらによって 生成 される空間 $U$ の 基底 となる。
$$ U = \span \left\{ u_{1}, u_{2}, \dots, u_{k} \right\} $$
これでこの $U$ が $W$ の余部分空間となり $V = W \oplus U$ を満たすことを示す。
- 任意の $v = w + u$ を満たす $w \in W$、$u \in U$ が存在する。
- $W \cap U = \left\{ 0 \right\}$
- $V$ と $W$、$U$ の基底を上記のように設定したので、次が成り立つ。 $$ \begin{align*} v &= a_{1}w_{1} + a_{2}w_{2} + \cdots a_{k}w_{k} + b_{1}u_{1} + b_{2}u_{2} + \cdots b_{n-k}u_{n-k} \\ &= \sum_{i} a_{i}w_{i} + \sum_{j}b_{j}u_{j} \end{align*} $$
- $W = \span \left\{ w_{1}, \dots, w_{k} \right\}$、$U = \span \left\{ u_{1}, \dots, u_{n-k} \right\}$ であり、$\beta$ は $V$ の基底、すなわち線形独立であるから $W \cap U = \left\{ 0 \right\}$ が成り立つ。
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