📂表現論

群代数

定義¹

有限群 $\braket{G, \cdot}$を基底として生成される、以下のような形式和たちのベクトル空間を $G$ の 群代数^{group algebra} と呼ぶ。

$$ \mathbb{C}[G] = \left\{ \sum_{i} a_{i}g_{i} : a_{i} \in \mathbb{C}, \quad g_{i} \in G \right\} $$

説明

定義で言う '和' とは、群 $G$ の演算や代数的構造とはまったく無関係な形式和^{formal sum}であることに注意する。より一般的には複素数 $\mathbb{C}$ の代わりに任意の体 $\mathbb{F}$ に対しても同様に定義できる。

同値

2つの元 $\sum a_{i}g_{i}$ と $\sum b_{i}g_{i}$ が等しいとは、それぞれの係数 $a_{i}$ と $b_{i}$ がすべて等しいことを意味する。

$$ \sum_{i} a_{i} g_{i} = \sum_{i} b_{i} g_{i} \iff a_{i} = b_{i} \quad \forall i $$

加法

$\mathbb{C}[G]$ には以下のような自然な加法を考えられ、$\braket{\mathbb{C}[G], +}$ はそれ自体で再び可換群となる。

$$ \sum_{i} a_{i} g_{i} + \sum_{i} b_{i} g_{i} = \sum_{i} (a_{i} + b_{i}) g_{i} $$

これが自然である理由は、$G$ を基底と見たとき、2つのベクトルの和は2つのベクトルの座標(係数)同士の和として表されるからである。

内積

$\mathbb{C}[G]$ はベクトル空間、特に有限次元ベクトル空間であるため、自然に以下のような内積を考えられる。すなわち $\mathbb{C}[G]$ は内積空間である。

$$ \Braket{\sum_{i} a_{i} g_{i}, \sum_{i} b_{i} g_{i}} = \sum_{i} a_{i} \overline{b_{i}} $$

乗法

もともと2つのベクトル間の乗法は自然には定義されない。しかし群代数 $\mathbb{C}[G]$ では $\braket{G, \cdot}$ の乗法を用いて以下のように乗法を定義できる。

$$ \left( \sum_{i} a_{i} g_{i} \right) \cdot \left( \sum_{j} b_{j} g_{j} \right) = \sum_{k} \left( \sum_{g_{i} \cdot g_{j} = g_{k}} a_{i}b_{j} \right) g_{k} $$

式は複雑に見えるが、2つの多項式の積のように定義されているということだ。$\mathbb{C}[G]$ の乗法は一般に可換ではなく、$G$ の乗法が可換であれば $\mathbb{C}[G]$ の乗法も可換である。ただし結合法則は成り立つので、結合代数となる。

例

剰余群 $\mathbb{Z}_{2}$ と 巡回群 $\braket{a} = \left\{ e, a \right\}$ に対して群代数 $\mathbb{Z}_{2}[\braket{a}]$ を考えてみよう。その元は可能なすべての形式和の形なので次の通りである。

$$ 0e + 0a, \quad 1e + 0a, \quad 0e + 1a, \quad 1e + 1a $$

これを直感に従って簡単に表記すると次のようになる。

$$ 0,\quad e, \quad a, \quad e + a $$

加法の結果は下の表の通りである。

$$ \begin{array}{c|cccc} + & 0 & e & a & e + a \\ \hline 0 & 0 & e & a & e + a \\ e & e & 0 & e + a & a \\ a & a & e + a & 0 & e \\ e + a & e + a & a & e & 0 \end{array} $$

乗法の場合は下のように計算される。

$$ \begin{align*} e \cdot a &= (1e + 0a) \cdot (0e + 1a) \\ &= (1\times 0)e\cdot e + (1\times 1)e\cdot a + (0\times 0)a\cdot e + (0\times 1)a\cdot a \\ &= 0e + 1a + 0a + 0e = 1a \end{align*} $$

すべての場合について表にまとめると次の通りである。

$$ \begin{array}{c|cccc} \cdot & 0 & e & a & e + a \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ e & 0 & e & a & e + a \\ a & 0 & a & e & e + a \\ e + a & 0 & e + a & e + a & 0 \end{array} $$