📂抽象代数

抽象代数学で中心化群

定義¹

群 $G$ の元 $a \in G$ に対して、 $a$ と可換な元の集合を 中心化^centralizer といい $C(a)$ と表す。

$$ C(a) := \left\{ g \in G : ga = ag \right\} $$

性質

• 任意の $a \in G$ に対して、 $Z(G) \subset C(a)$ である。 $Z(G)$ は $G$ の 中心 である。
• $G$ が 可換群 であれば、すべての $a$ に対して $C(a) = G$ である。逆も成り立つ。

定理

任意の $a \in G$ に対して、 $a$ の中心化は $G$ の 部分群 である。

$$ C(a) \le G $$

証明

部分群判定法

群 $G$ の空でない部分集合 $H$ に対して、次の二条件を満たせば $H$ は $G$ の部分群である。

1. $a$、 $b \in H \implies ab \in H$
2. $a \in H \implies a^{-1} \in H$

与えられた群 $G$ に対して $a \in G$ を任意に固定する。

第1段階: $C(a) \ne \emptyset$

$C(a)$ に単位元が含まれていることは 自明 だから空集合ではない。

---

第2段階: $b, d \in C(a) \implies bd \in C(a)$

$b, d \in C(a)$ とする。すると次が成り立つ。

$$ (bd)a = b(da) = b(ad) = (ba)d = (ab)d = a(bd) $$

したがって $bd \in C(a)$ である。

---

第3段階: $b \in C(a) \implies b^{-1} \in C(a)$

$b \in C(a)$ とする。すると $ab = ba$ が成り立つ。両辺の前後に $b^{-1}$ を掛けると、

$$ \begin{align*} && b^{-1}(ab)b^{-1} &= b^{-1}(ba)b^{-1} \\ \implies && b^{-1}a(bb^{-1}) &= (b^{-1}b)ab^{-1} \\ \implies && b^{-1}a &= ab^{-1} \\ \end{align*} $$

したがって $b^{-1} \in C(a)$ である。

■