特殊直交群

定義

行列式が $+1$ である $n \times n$ の直交行列の集合を $\operatorname{SO}(n)$ と表記し、 $n$ 次元の 特殊直交群^{special orthogonal group}という。

$$ \operatorname{SO}(n) := {\left\{ A \in M_{n \times n}(\mathbb{R}) : AA^{T} = I \quad\text{and}\quad \det(A) = +1 \right\}} $$

説明

基本的に直交行列は行列式が $+1$ または $-1$ である。このうち行列式が $+1$ のものは回転行列であるため、特殊直交群とは回転行列の集合を指す。したがって 回転群^{rotation group} とも呼ばれる。低次元での特殊直交群は以下の通りだ。

$\operatorname{SO}(1) \cong \left\{ 1 \right\}$
$\operatorname{SO}(2) \cong$ $S^{1}$
$\operatorname{SO}(3) \cong \mathbb{P}^{3}$

ここで注目すべきは $\operatorname{SO}(2)$ が $1$ 次元であるのに対し、 $\operatorname{SO}(3)$ は $3$ 次元であるという点だ。平面上の回転は変数 $1$ 個で表現できるが、 $3$ 次元空間は3つの平面($xy–$ 平面、$yz–$ 平面、$zx–$ 平面)で構成されているため、変数が $3$ 個必要になる。

2次元

2次元回転群 $\operatorname{SO}(2)$ は具体的に次の通りだ。

$$ \operatorname{SO}(2) = \left\{ \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} : \theta \in \mathbb{R} \right\} $$

これは単位円上の点と同型である。

$$ \operatorname{SO}(2) \cong S^{1} $$