作用素ノルム
定義
$X$と$Y$をノルム空間とする。$T : X \to Y$を二つの空間の間の有界線形作用素とする。以下のような$\| \cdot \|$を作用素ノルムoperator normと呼ぶ。
$$ \| T \| := \inf\limits_{x \in X} \left\{ C : \| T x \| \le C \| x \| \right\} $$
説明
各ノルムの表記を正確にするならば次のように書ける。ノルム空間 $(X, \| \cdot \|_{X})$ と $(Y, \| \cdot \|_{Y})$ に対して、
$$ \| T \|_{\text{op}} := \inf\limits_{x \in X} \left\{ C : \| T x \|_{Y} \le C \| x \|_{X} \right\} $$
上のように表記すれば誤解の余地なく正確に表現できるが，可読性は相対的に下がる。$\| \cdot \|$の中に含まれる元で区別可能なので，簡略に書く場合も多い。
定義により次が成り立つ。
$$ \| T x \| \le \| T \| \| x \|, \quad \forall x \in X $$
$x \ne 0$ならば上の式は$\dfrac{\| T x \|}{\| x \|} \le \| T \|$であるから，$T$の作用素ノルムは$T$がベクトルをどれだけ伸ばすかの上限を表す。これをもう少し直感的に示す定義は次の通り。$\| x \| = 1$である$x$について見ると，$\| Tx \| \le \| T \|$であるため，作用素ノルムの定義は下のように書ける。
$$ \| T \| := \sup\limits_{\substack{x \in X \\ \| x \| = 1}} \| T x \| $$
性質
(a) $B(X, Y)$ を $X$ から $Y$ へ行くすべての有界線形作用素の集合とする。 $$ B(X, Y) = \left\{ T : X \to Y \mid T \text{ is a bounded linear operator} \right\} $$ すると $(B(X, Y), \| \cdot \|_{\text{op}})$ はノルム空間になる。$Y$ がバナッハ空間であれば，$(B(X, Y), \| \cdot \|_{\text{op}})$ もバナッハ空間になる。
(b) $T_{1} : X \to Y$ と $T_{2} : T_{1}(Y) \to Z$ に対して次が成り立つ。 $$ \| T_{2}T_{1} \| \le \| T_{2} \| \| T_{1} \| $$ これの系として次が成り立つ。$T \in B(X, X)$ に対して、
$$ \| T^{n} \| \le \| T \|^{n}, \quad n \in \mathbb{N} $$
証明
(a)
ここを参照せよ。
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(b)
まず $T_{2}$ の作用素ノルムの定義により次が成り立つ。
$$ \| T_{2}T_{1} x \| = \| T_{2}(T_{1} x) \| \le \| T_{2} \| \| T_{1} x \| $$
しかし $\| T_{1} x \| \le \| T_{1} \| \| x \|$ なので，次を得る。
$$ \| T_{2}T_{1} x \| \le \| T_{2} \| \| T_{1} x \| \le \| T_{2} \| \| T_{1} \| \| x \| $$
$\| T_{2}T_{1} \|$ は $\| T_{2}T_{1} x \| \le C \| x \|$ を満たす最小の $C$ であるから，
$$ \| T_{2}T_{1} \| \le \| T_{2} \| \| T_{1} \| $$
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