📂ヒルベルト空間

自己随伴作用素 (じこずいはんさようそ)

定義

ヒルベルト空間 $H$ と 有界線形作用素 $T : H \to H$ が次を満たすとき、自己随伴作用素^{self-adjoint operator}と呼ぶ。

$$ T^{\ast} = T $$

$T^{\ast}$ は $T$ の 随伴作用素である。

説明

自己随伴であれば、正規作用素$(T^{\ast}T = TT^{\ast})$である。定義の条件を別の形で書くと以下の通りである。

$$ \braket{T \mathbf{x}, \mathbf{y}} = \braket{\mathbf{x}, T \mathbf{y}}, \qquad \forall \mathbf{x}, \mathbf{y} \in H $$

有限次元では、すなわち行列で見れば $T^{\ast}$ は $T$ の 共役転置 行列であり、$T^{\ast} = T$な $T$ を エルミート行列という。すなわち自己随伴作用素は エルミート行列 の一般化である。

性質¹

$H$ をヒルベルト空間、 $T, S : H \to H$ を有界線形作用素とする。すると次が成り立つ。

(a) $T$ が自己随伴であれば、任意の $x \in H$ に対して $\braket{T\mathbf{x}, \mathbf{x}}$ は実数^realである。

(b) $H$ が複素ベクトル空間で、任意の $x \in H$ に対して $\braket{T \mathbf{x}, \mathbf{x}}$ が実数であれば、$T$ は自己随伴である。

(c) 二つの自己随伴作用素 $S$ と $T$ に対して、$ST$ が自己随伴であることは、$S$ と $T$ が互いに 可換であることに同値である。 $$ ST \text{ is self-adjoint} \iff ST = TS \text{ (for self-adjoint $S$ and $T$)} $$

(d) 任意の有界線形作用素 $T : H \to H$ とその随伴作用素は、二つの自己随伴作用素 $T_{1}$ と $T_{2}$ の 線形結合 として一意に表される。 $$ T = T_{1} + iT_{2}, \qquad T^{\ast} = T_{1} - iT_{2} $$ このとき $T_{1}$ と $T_{2}$ はそれぞれ次の通りである。 $$ T_{1} = \frac{1}{2}(T + T^{\ast}), \qquad T_{2} = \frac{1}{2i}(T - T^{\ast}) $$

証明

(a)

$T$ が自己随伴であるとする。内積の定義と自己随伴の定義から次が成り立つ。

$$ \overline{\braket{T \mathbf{x}, \mathbf{x}}} = \braket{\mathbf{x}, T \mathbf{x}} = \braket{T \mathbf{x}, \mathbf{x}}, \quad \forall \mathbf{x} \in H $$

したがって $\braket{T \mathbf{x}, \mathbf{x}}$ は実数である。

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(b)

実数は共役を取っても値が同じなので、随伴作用素と内積の定義から次が成り立つ。

$$ \braket{T \mathbf{x}, \mathbf{x}} = \overline{\braket{T \mathbf{x}, \mathbf{x}}} = \overline{\braket{\mathbf{x}, T^{\ast} \mathbf{x}}} = \braket{T^{\ast} \mathbf{x}, \mathbf{x}}, \quad \forall \mathbf{x} \in H $$

すると次を得る。

$$ \braket{T \mathbf{x}, \mathbf{x}} - \braket{T^{\ast} \mathbf{x}, \mathbf{x}} = \braket{(T - T^{\ast}) \mathbf{x}, \mathbf{x}} = 0, \quad \forall \mathbf{x} \in H $$

零作用素の性質

複素ベクトル空間 $X$ に対して、 $Q : X \to X$ が任意の $x \in X$ に対して $\braket{Qx, x} = 0$ ならば、 $Q = 0_{\text{op}}$ である。

すると零作用素の性質により次が成り立ち、 $T$ は自己随伴である。

$$ T - T^{\ast} = 0 \implies T = T^{\ast} $$

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(c)

積の随伴作用素は $(ST)^{\ast} = T^{\ast}S^{\ast}$ であるが、二つの作用素が自己随伴であると仮定したので次を得る。

$$ (ST)^{\ast} = TS \tag{1} $$

$(\implies)$ $ST$ が自己随伴であるとする。すると次が成り立つ。

$$ (ST)^{\ast} = ST \tag{2} $$

$(1)$ と $(2)$ により $TS = ST$ が成り立つ。

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$(\impliedby)$ を $ST = TS$ とする。すると $(1)$ によって次が成り立つ。

$$ (ST)^{\ast} = TS = ST \implies (ST)^{\ast} = ST $$

したがって $ST$ は自己随伴である。

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(d)

まず $T_{1} = \frac{1}{2}(T + T^{\ast})$ と $T_{2} = \frac{1}{2i}(T - T^{\ast})$ が自己随伴であることは容易に分かる。

$$ \begin{align*} \Braket{\frac{1}{2}(T + T^{\ast})x, y} &= \Braket{x, \left[ \frac{1}{2}(T + T^{\ast}) \right]^{\ast}y} \\ &= \Braket{x, \frac{1}{2}(T^{\ast} + T)y} \\ &= \Braket{x, \frac{1}{2}(T + T^{\ast})y} \end{align*} $$

そして、

$$ \begin{align*} \Braket{\frac{1}{2i}(T - T^{\ast})x, y} &= \Braket{x, \left[ \frac{1}{2i}(T - T^{\ast}) \right]^{\ast}y} \\ &= \Braket{x, \overline{\frac{1}{2i}}(T^{\ast} - T)y} \\ &= \Braket{x, \frac{1}{2i}(-T^{\ast} + T)y} \\ &= \Braket{x, \frac{1}{2i}(T - T^{\ast})y} \end{align*} $$

$T = T_{1} + iT_{2}$、 $T^{\ast} = T_{1} - iT_{2}$ であることは自明である。

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