📂バナッハ空間

若い演算子

定義

ノルム空間 $X$と $Y$に対して、下面のような 作用素 $0_{\text{op}} : X \to Y$を 零作用素^{zero operator}と呼ぶ。

$$ 0_{\text{op}} : x \to 0_{Y}, \quad \forall x \in X $$

$0_{Y}$は $Y$の 零ベクトルである。

説明

通常は零作用素や零ベクトルの記法を区別しないが、ここでは明確にするため次のように表記する。

• $0_{\text{op}}$: 零作用素
• $0_{Y}$: ベクトル空間 $Y$の零ベクトル
• $0$: スカラー零

零作用素は 有界線形作用素の集合 $$ B(X, Y) = \left\{ T : X \to Y \mid T \text{ is a bounded linear operator} \right\} $$ の元であり、特に ベクトル空間としての $B(X, Y)$ における零ベクトルである。

零作用素の 随伴作用素もまた零作用素である。二つの零作用素 $0_{YX} : X \to Y$と $0_{XY} : Y \to X$に対して、

$$ \braket{0_{YX}x , y}_{Y} = 0 = \braket{x, 0_{XY}y}_{X} $$

定理¹

内積空間 $X$と $Y$に対して、$Q : X \to Y$を 有界線形作用素とする。すると次が成り立つ。

$(a)$ $Q = 0_{\text{op}}$であるための必要十分条件は任意の $x \in X$、$y \in Y$に対して $\braket{Qx, y} = 0$であること。

$(b)$ 複素ベクトル空間 $X$に対して、$Q : X \to X$が任意の $x \in X$に対して $\braket{Qx, x} = 0$であれば、$Q = 0_{\text{op}}$である。

証明

$(a)$

$(\implies)$ $\forall y \in Y$、$\braket{0_{Y}, y} = 0$なので自明である。

$(\impliedby)$ 任意の $x \in X$と $y \in Y$に対して $\braket{Qx, y} = 0$であると仮定する。するとある $x^{\prime} \in X$に対して次が成り立つ。

$$ \braket{Qx^{\prime}, y} = 0, \quad \forall y \in Y $$

すると零ベクトルの性質により $Qx^{\prime} = 0_{Y}$である。

零ベクトルの性質

$$ \forall \mathbf{x}\in X,\ \left\langle \mathbf{x},\mathbf{y} \right\rangle = 0 \implies \mathbf{y}=\mathbf{0} $$

任意の $x^{\prime}$に対して $Qx^{\prime} = 0_{Y}$であるから $Q = 0_{\text{op}}$である。

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$(b)$

仮定により任意の $v = \alpha x + y \in X$に対して $\braket{Qv, v} = 0$である。これを展開すると次のようになる。

$$ \begin{align*} 0 &= \braket{Qv, v} \\ &= \braket{Q(\alpha x + y), \alpha x + y} \\ &= |\alpha|^{2}\braket{Qx, x} + \alpha\braket{Qx, y} + \overline{\alpha}\braket{Qy, x} + \braket{Qy, y} \end{align*} $$

仮定により最初と最後の項は $0$である。

$$ \alpha\braket{Qx, y} + \overline{\alpha}\braket{Qy, x} = 0 $$

これは任意の $\alpha \in \mathbb{C}$に対して成り立たねばならないので、$\alpha = 1$と $\alpha = i$と分けると次の式を得る。

$$ \braket{Qx, y} + \braket{Qy, x} = 0 $$

$$ \braket{Qx, y} - \braket{Qy, x} = 0 $$

$$ \implies \braket{Qx, y} = 0 \quad \forall x, y \in X $$

$(a)$により、$Q = 0_{\text{op}}$である。

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