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ジョルダンの補助定理を通した広義積分の評価 📂複素解析

ジョルダンの補助定理を通した広義積分の評価

説明 1

まず、有理関数の発散する半円上の複素経路積分による異常積分に似て、二つの多項式 p(z),q(z)p(z) , q(z) に対して f(z)=q(z)p(z)\displaystyle f(z) = {{q(z)} \over {p(z)}} とする。

p(z)=0p(z) = 0 を満たす実数解が存在しない場合、ff は実数の特異点を持たないことになる。正の mR+m \in \mathbb{R}^{+} に対し sinmxf(x)dx\displaystyle \int_{- \infty}^{\infty} \sin{mx}f(x) dx または cosmxf(x)dx\displaystyle \int_{- \infty}^{\infty} \cos{mx}f(x) dx 形式の積分を考えると、

異常積分が存在する条件は f(z)1zp\displaystyle f(z) \sim {{1} \over {z^{p}}} から p>0p > 0 に緩和されることがわかる。無限級数の概念で考えると、調和級数 n=11n\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} {{1 }\over {n}} は発散するが、交代調和級数 n=1(1)n1n\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} {{1 }\over {n}} は収束するのに似ている。

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このような単純な閉じた半円 C=Γ[R,R]\mathscr{C} = {\color{red}\Gamma} \cup [-R,R] を考えると、 Cemizf(z)dz=Γemizf(z)dz+RRcosmzf(z)dz+iRRsinmzf(z)dz \int_{\mathscr{C}} e^{m i z} f(z) dz = \color{red} {\int_{\Gamma} e^{m i z} f(z) dz } + \int_{-R}^{R} \cos m z f(z) dz + i \int_{-R}^{R} \sin m z f(z) dz 部分的に考えることができる。

ジョルダンの補題関数 ffΓ\Gamma連続であり、limzf(z)=0\displaystyle \lim_{z \to \infty} f(z) = 0 の場合、正の mR+m \in \mathbb{R}^{+} に対して limRΓemizf(z)dz=0\lim_{R \to \infty} \int_{\Gamma} e^{m i z } f(z) dz = 0

RR \to \infty のとき Γemizf(z)dz0\displaystyle \color{red} {\int_{\Gamma} e^{m i z} f(z) dz } \to 0 なので、留数定理を使って Cemizf(z)dz\displaystyle \int_{\mathscr{C}} e^{m i z}f(z) dz を計算すると、実数部は cosmzf(z)dz\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \cos m z f(z) dz で、虚数部は sinmzf(z)dz\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \sin m z f(z) dz となる。


  1. Osborne (1999). Complex variables and their applications: p167. ↩︎