ジョルダンの補助定理を通した広義積分の評価
📂複素解析ジョルダンの補助定理を通した広義積分の評価
説明
まず、有理関数の発散する半円上の複素経路積分による異常積分に似て、二つの多項式 p(z),q(z) に対して f(z)=p(z)q(z) とする。
p(z)=0 を満たす実数解が存在しない場合、f は実数の特異点を持たないことになる。正の m∈R+ に対し ∫−∞∞sinmxf(x)dx または ∫−∞∞cosmxf(x)dx 形式の積分を考えると、
異常積分が存在する条件は f(z)∼zp1 から p>0 に緩和されることがわかる。無限級数の概念で考えると、調和級数 n=1∑∞n1 は発散するが、交代調和級数 n=1∑∞(−1)nn1 は収束するのに似ている。

このような単純な閉じた半円 C=Γ∪[−R,R] を考えると、
∫Cemizf(z)dz=∫Γemizf(z)dz+∫−RRcosmzf(z)dz+i∫−RRsinmzf(z)dz
部分的に考えることができる。
ジョルダンの補題:関数 f が Γ で連続であり、z→∞limf(z)=0 の場合、正の m∈R+ に対して
R→∞lim∫Γemizf(z)dz=0
R→∞ のとき ∫Γemizf(z)dz→0 なので、留数定理を使って ∫Cemizf(z)dz を計算すると、実数部は ∫−∞∞cosmzf(z)dz で、虚数部は ∫−∞∞sinmzf(z)dz となる。