平行六面体 (へいこうろくめんたい)
定義
簡単な定義
すべての面が 平行四辺形である六面体を 平行六面体parallelepipedという。
線形代数的定義
3次元 座標空間上の相異なる3つのベクトル $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$, $\mathbf{c}$について、次の集合を 平行六面体と呼ぶ。
$$ R = \left\{ \lambda_{1}\mathbf{a} + \lambda_{2} \mathbf{b} + \lambda_{3} \mathbf{c} : 0\leq \lambda_{1},\lambda_{2},\lambda_{3}\leq 1 \right\} $$
説明
平行四辺形の3次元拡張である。$n$次元に拡張した場合にも同様に定義する。
性質
体積
体積公式は次のようになる。
$$ \begin{align*} V &= A \times h = \begin{vmatrix} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{vmatrix} \\[2em] &= abc \sqrt{1 + 2\cos\alpha \cos\beta \cos\gamma - \cos^{2}\alpha - \cos^{2}\beta - \cos^{2}\gamma} \end{align*} $$
このとき $A$が底面積、$h$が高さ、$a$、$b$、$c$はそれぞれ3つのベクトル $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$, $\mathbf{c}$の大きさであり、$\alpha = \angle(\mathbf{b}, \mathbf{c})$, $\beta = \angle(\mathbf{a}, \mathbf{c})$, $\gamma = \angle(\mathbf{a}, \mathbf{b})$は3つのベクトルの間の角度である。