📂表現論

群の既約表現

定義

群 $G$と有限次元のベクトル空間 $V$が与えられているとしよう。$\operatorname{GL}(V)$を一般線形群とする。以下のような準同型写像 $\rho$を $V$ 上での $G$ の表現^{$G$の$V$上での表現} と呼ぶ。

$$ \rho : G \to \operatorname{GL}(V) $$

$\rho$-不変

$V$の部分空間 $W$が次を満たすとき、$\rho$-不変^{$\rho$による不変} または $G$-[不変]^{$G$による不変} と呼ぶ。

$$ \rho (g) (W) \subset W, \qquad \forall g \in G $$

部分表現

$\rho$-不変な $W$ に対して、次を満たす $\sigma : G \to \operatorname{GL}(W)$ は自明に $G$ の表現である。こうした $\sigma$ を $\rho$ の 部分表現^{subrepresentation（部分表現）} と呼ぶ。

$$ \sigma (g) = \rho (g)|_{W}, \qquad \forall g \in G, $$

既約表現、可約表現

$V$ の自明な部分空間 $V$、$\varnothing$ は常に不変である。$V$ が自明でない不変部分空間を持つなら、$V$ を 可約^{reducible（可約）} と呼ぶ。そうでない、つまり自明でない不変部分空間を持たないなら $V$ を 既約（不可約）^{irreducible（既約）} と呼ぶ。

説明

どことなく線形代数学で学んだ「線形変換の特性多項式が不変部分空間上の縮小写像たちの特性多項式で割り切れる」ということに似ている。実際、同じ内容と見なせる。有限次元ベクトル空間 $V$ 上の線形変換 $T : V \to V$ に対して、$V$ が $T$-不変な部分空間 $W_{i}$ たちの直和として表されるとしよう。

$$ V = W_{1} \oplus W_{2} \oplus \cdots \oplus W_{k} $$

すると $T$ の行列表示は $T|_{W_{i}}$ たちの行列表示のブロック対角行列の形で表される

$$ [T] = \begin{bmatrix} [T|_{W_{1}}] & O & \cdots & O \\ O & [T|_{W_{2}}] & \cdots & O \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ O & O & \cdots & [T|_{W_{k}}] \end{bmatrix} $$

これと同様に、表現が可約であるということはブロック対角行列で表すことができるということだ。例えば $W_{1}, W_{2}$ が表現 $\rho : G \to \operatorname{GL}(n, \mathbb{R})$ に対して不変で、$\mathbb{R}^{n} = W_{1} \oplus W_{2}$ なら、$\rho(g)$ は次のようなブロック対角行列で表すことができる。（線形変換とその行列表示について同じ表記法を用いる）

$$ \rho(g) = \begin{bmatrix} \rho(g)|_{W_{1}} & O \\ O & \rho(g)|_{W_{2}} \end{bmatrix} $$

言い換えれば 表現 $\rho$ を二つの表現 $\rho|_{W_{1}}$ と $\rho|_{W_{2}}$ の直和として表すことができる。