群表現の同型写像
定義1 2
群 $G$ と二つの 表現 $\rho_{1} : G \to \operatorname{GL}(V)$、$\rho_{2} : G \to \operatorname{GL}(W)$ が与えられているとする。二つの ベクトル空間 間の 関数 $f : V \to W$ が次を満たすなら、$f$ は $G$ に関して 等変equivariant with respect to $G$ と呼ぶ。
$$ f(\rho_{1}g (v)) = \rho_{2}g(f(v)), \qquad \forall g \in G, v \in V $$
説明
こうした $f$ を呼ぶ名前としては $G–$等変写像equivariant map、$G–$線形写像linear map、
等変写像ならば 定義域 で変化を与えてから関数に代入するのと、関数に代入してから 値域 で変化を与えるのとで結果が同じである。簡単に言えば、与えられた表現と順序を入れ替えて適用しても結果が同じになる関数を等変写像という。
不変写像
すべての $g$ に対して $\rho_{2}g$ が 恒等写像 であれば、$f$ を 不変invariant と呼ぶ。つまり、$f$ の関数値は定義域に $G$ の作用を与えても変わらない。
$$ f(\rho_{1}g (v)) = f(v), \qquad \forall g \in G, v \in V $$
例
- $G = \braket{R_{90^{\circ}}} = \left\{ R_{0^{\circ}}, R_{90^{\circ}}, R_{180^{\circ}}, R_{270^{\circ}} \right\}$ 循環回転群
- $V = \mathbb{R}^{2}$ 座標平面
- $W = \mathbb{R}^{2}$ 座標平面
- $\rho_{1}: G \to \operatorname{GL}(V)$ は $$ \rho_{1}(R_{\theta^{\circ}}) = R_{\theta} \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} $$
- $\rho_{2}: G \to \operatorname{GL}(V)$ は $$ \rho_{2}(R_{\theta^{\circ}}) = R_{\theta} \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} $$
- $f : V \to W$ はある $\phi: \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}$ に対して $(x,y)$ の大きさを変える変換 $f(x,y) = \phi(\|(x, y)\|)(x,y)$
すると次が成り立つので $f$ は $G$ に関して等変である。
$$ \begin{align*} f(R_{\theta}(x,y)) &= \phi(\|R_{\theta}(x,y)\|)R_{\theta}(x,y) \\ &= \phi(\|(x,y)\|)R_{\theta}(x,y) \\ &= R_{\theta}(\phi(\|(x,y)\|)(x,y)) \\ &= R_{\theta}f(x,y) \end{align*} $$
性質
(a) 二つの関数 $f$、$g : V \to W$ が $G$ に関して等変なら、$f \circ g$ も等変である。
(b) $\phi : V \to W$ が $G–$ 等変なら、$\ker \phi$ と $\im \phi$ は部分表現である。このとき $\ker \phi$、$\im \phi$ はそれぞれ $\phi$ の 核 と 像 である。
上の主張 (b) は簡潔に書いたもので、できるだけ詳しく書き下すと以下の通りである。
(b) 群 $G$ に対して、二つの表現 $(\rho, V)$ と $(\sigma, W)$ が与えられているとする。便宜上 $\rho_{g} = \rho(g)$ と表記する。線形変換 $\phi : V \to W$ が $G–$ 等変であるとする。
$$ \phi(\rho_{g} (v)) = \sigma_{g} (\phi(v)) \quad \forall v \in V, \quad g \in G $$
すると $\ker \phi$、$\im \phi$ はそれぞれ $(\rho, V)$ と $(\sigma, W)$ の 不変部分空間 である。
$$ \rho_{g} (\ker \phi) \subset \ker \phi \\ \sigma_{g} (\im \phi) \subset \im \phi $$
証明
(b)
$\ker \phi$ は部分表現である。
示すべきこと: $v \in \ker \phi \implies \rho_{g}(v) \in \ker \phi$
$v \in \ker \phi = \left\{ v : \phi(v) = 0_{W} \right\}$ としよう。$0_{W}$ は $W$ の零ベクトルである。すると、$\phi$ が $G–$ 不変なので、次が成り立つ。
$$ \begin{align*} \phi(\rho_{g}(v)) &= \sigma_{g}(\phi(v)) \\ &= \sigma_{g}(0_{W}) \\ &= 0_{W} \end{align*} $$
$$ \rho_{g}(v) \in \ker \phi $$
■
$\im \phi$ は 부분表現である。
示すべきこと: $w \in \im \phi \implies \sigma_{g}(w) \in \im \phi$
$w \in \im \phi$ としよう。すなわちある $v$ に対して $w = \phi(v)$ である。すると、$\phi$ が $G–$ 不変なので、次が成り立つ。
$$ \sigma_{g}(w) = \sigma_{g}(\phi(v)) \\ = \phi(\rho_{g}(v)) $$
$$ \sigma_{g}(w) \in \im \phi $$
■