群の表現

定義¹ ²

群 $G$と有限次元ベクトル空間 $V$が与えられているとしよう。$\operatorname{GL}(V)$を一般線形群とする。以下のような準同型写像 $\rho$を $V$上での $G$の表現^{representation of $G$ on $V$}と呼ぶ。

$$ \rho : G \to \operatorname{GL}(V) $$

定義から「写像 $\rho$はベクトル空間 $V$に対して $G$-モジュールの構造を与える」とも言う。
順序対 $(V, \rho)$ または $(\rho, V)$ と表すこともあり、簡単に $V$ 自体を表現と呼ぶこともある。

説明³

定義を展開すると次のようになる。$g, h \in G$について、

$\rho(g)$は線形変換かつ全単射である。
$\rho(g h) = \rho(g) \rho(h)$が成り立つ。
- $\rho(e) = I_{V}$である。（$e$は $G$ の単位元、$I_{V}$は $V$ 上の恒等変換である。）
- $\rho(g^{-1}) = (\rho (g))^{-1}$である。

一方、直観的に見ると、$V$が$n$次元実ベクトル空間なら$\mathbb{R}^{n}$と同型であり、$\rho(g) \in \operatorname{GL}(V)$は $\rho(g) : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{n}$ と見なせる。これらの線形変換には対応する行列表示が存在するため、$G$の表現とは $G$ から $n\times n$ 可逆行列の集合への準同型写像と同じである。

$$ \rho : G \to \operatorname{GL}(n, \mathbb{R}) = \left\{ A \in \mathbb{R}^{n \times n} : \det A \ne 0 \right\} $$

つまり、表現とは群の元を可逆行列に対応させる写像である。行列はそのまま線形変換に相当するので、表現は群の元をあたかも関数のように扱うことになる。表現の話が出たということは、ここから群の元を関数として見るということである。

動機

表現を定義して学ぶ理由は、反射・回転・平行移動・混ぜ合わせ（置換）など群の元として現れる種々の変換をベクトル空間に適用するためである。つまり群の元をベクトル空間上の線形変換として自然に表現し、取り扱うためである。群表現の数学的性質をよく解析しておけば、我々がベクトル空間に適用したい任意の線形変換を上手く構成できたり、効率的に計算できたり、あるいはその線形変換の性質を深く理解する助けになる。

例えばベクトル $v$ にある変換 $T$ を作用させるとする。これを4回作用させると元の $v$ に戻るような変換を考えるとする。

$$ T^{4}(v) = v, \quad v \in V $$

この場合は巡回群 $C_{4} = \left\{ e, a, a^{2}, a^{3} \right\}$ の表現 $\rho : C_{4} \to \operatorname{GL}(V)$ を考えられる。それぞれの $T^{k}$ は以下のように対応する。詳しくは下の例を参照せよ。

$$ T = \rho(a), \quad T^{2} = \rho(a^{2}), \quad T^{3} = \rho(a^{3}), \quad T^{4} = \rho(e) = I_{V} $$

群作用

定義を見て群作用(作用)を連想する者もいるだろうが、実際に表現は作用の特別な場合である。

群 $G$ と集合 $X$ に対して次を満たす二項演算 $\ast : G \times X \to X$ を $X$ 上の $G$ の作用^{action of $G$ on $X$}と呼ぶ。
$\forall x \in X$, $ex = x$ ($e$ は $G$ の単位元)
$\forall x \in X$, $\forall g,h \in G$, $(gh)(x) = g(hx)$

作用の条件で $X$ をベクトル空間に制限し、固定された $g \in G$ に対して写像 $\ast : \left\{ g \right\} \times X \to X$ を全単射な線形変換に制限すればそれが表現となる。ここでも表記を $g \ast x = y$ から $g(x) = y$ に変えると、群の元を関数として見るということがよく分かる。

自明な表現

すべての群は次のような自明な表現^{trivial representation}を持つ。

$$ \rho : g \mapsto I \qquad \forall g \in G $$

ここで $I$ は単位行列である。すべての $g, h \in G$ に対して次が成り立つことが分かる。

$$ \rho(g h) = I = I I = \rho(g) \rho(h) $$

例

周期性（巡回群の表現）

ベクトル空間 $V$ の元 $v$ に対して、次を満たす線形変換 $T : V \to V$ を考える。

$$ T^{4}(v) = v, \quad \forall v \in V $$

これは同じ変換を4回作用させると元のベクトルに戻るということである。このような $T^{k}$ は巡回群 $C_{4} = \left\{ e, a, a^{2}, a^{3} \right\}$ の表現 $\rho : C_{4} \to \operatorname{GL}(V)$ として表せる。それぞれの $T^{k}$ は以下のように対応する。

$$ T = \rho(a), \quad T^{2} = \rho(a^{2}), \quad T^{3} = \rho(a^{3}), \quad T^{4} = \rho(e) = I_{V} $$

$I_{V}$ は $V$ 上の恒等変換である。

事例1. $V = \mathbb{R}$

$1$次元の場合を見てみる。このときそれは単に以下の $4$ 次の方程式の解を探すことに等しい。

$$ \begin{align*} && T^{4} &= \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix} \\ \implies && x^{4} &= 1 \end{align*} $$

このような $\rho : C_{4} \to \operatorname{GL}(1, \mathbb{R})$ は下の表に示すように4通り存在する。

$$ \begin{array}{c|rrrr} & e & a &\ a^{2} & a^{3} \\ \hline \rho_{1} & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \rho_{2} & 1 & -1 & 1 & -1 \\ \rho_{3} & 1 & i & -1 & -i \\ \rho_{3} & 1 & -i & -1 & i \\ \end{array} $$

事例2. $V = \mathbb{R}^{2}$

$2$次元の場合には次のように4乗して $2 \times 2$ の単位行列になる行列 $A$ を見つけることに相当する。

$$ \begin{align*} && T^{4} &= I_{V} \\ \implies && A^{4} &= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \end{align*} $$

これを見つける方法はいくつかあるが、簡単な方法として小さな次元の表現の直和として表すことがある。すなわち $\sigma : C_{4} \to \operatorname{GL}(2, \mathbb{R})$ を以下のような $\rho_{i}$ たちの直和として表せる。

$$ \sigma_{1} = \begin{bmatrix} \rho_{1} & 0 \\ 0 & \rho_{2} \end{bmatrix} , \quad \sigma_{2} = \begin{bmatrix} \rho_{4} & 0 \\ 0 & \rho_{3} \end{bmatrix} , \quad \sigma_{3} = \begin{bmatrix} \rho_{3} & 0 \\ 0 & \rho_{1} \end{bmatrix} , \quad \sigma_{4} = \begin{bmatrix} \rho_{2} & 0 \\ 0 & \rho_{3} \end{bmatrix} $$

このように構成できる $\sigma$ は全部で $_{4}P_{2} = 12$ 個ある。もちろんこれがすべての表現というわけではない。

混合（対称群の表現）

ベクトル空間 $\mathbb{R}^{3}$ のベクトル $v$ に対して、各座標値の順序を入れ替える線形変換を考えるとする。これは対称群 $S_{3}$ の表現として表せる。$S_{3}$ は $\left\{ 1, 2, 3 \right\}$ から $\left\{ 1, 2, 3 \right\}$ への全ての全単射関数の集合である。

$$ S_{3} := \left\{ \sigma : \left\{ 1, 2, 3 \right\} \to \left\{ 1, 2, 3 \right\} : \sigma \text{ is bijective} \right\} $$

$S_{3}$ は具体的に次のように合計 $_{3}P_{2} = 6$ 個の元を持つ。この各元を次のように表記しよう。

$$ e = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}, \quad a = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}, \quad a^{2} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} $$ $$ b = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}, \quad ab = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}, \quad a^{2}b = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} $$

これらは自然にそれぞれ次のような $3 \times 3$ 行列（=線形変換）に対応させられる。

$$ E = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}, \quad A^{2} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}, $$ $$ B = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}, \quad AB = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad A^{2}B = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} $$

すなわち $S_{3}$ の表現 $\rho : S_{3} \to \operatorname{GL}(3, \mathbb{R})$ は次のような関数である。

$$ \rho = \begin{cases} \epsilon \mapsto E \\ a \mapsto A \\ a^{2} \mapsto A^{2} \\ b \mapsto B \\ ab \mapsto AB \\ a^{2}b \mapsto A^{2}B \end{cases} $$

回転（モジュロ群の表現）

$2$次元の座標平面でベクトルを回転させる変換を考えよう。これは回転行列として教科過程でよく目にする概念だが、群の表現に慣れるという観点から眺める。回転の抽象化は整数の剰余群によって表される。もちろんこれは上で見た巡回群と同型である。剰余群 $\mathbb{Z}_{3}$ を考えよう。

$$ \begin{array}{c|ccc} \mathbb{Z}_{3} & 0 & 1 & 2\\ \hline 0 & 0 & 1 & 2\\ 1 & 1 & 2 & 0\\ 2 & 2 & 0 & 1 \end{array} $$

これは平面上で $120^{\circ}$ ずつ回転させる変換の抽象化であり、次のような表現 $\rho : \mathbb{Z}_{3} \to \operatorname{GL}(2, \mathbb{R})$ によって平面の回転変換に対応させることができる。

$$ \rho(n) := \begin{bmatrix} \cos \frac{2\pi n}{3} & -\sin \frac{2\pi n}{3} \\[1em] \sin \frac{2\pi n}{3} & \cos \frac{2\pi n}{3} \end{bmatrix} $$

$$ \rho(0) = R_{0^{\circ}}, \qquad \rho(1) = R_{120^{\circ}}, \qquad \rho(2) = R_{240^{\circ}} $$