📂確率分布論

ベルヌーイ分布の平均と分散

公式

$X \sim$ $\operatorname{Bin}(1, p)$の場合、$X$の平均と分散はそれぞれ以下の通りである。

$$E(X) = p$$

$$\Var(X) = p(1-p) = pq, \qquad q = 1 - p$$

証明

$p \in [0, 1]$に対して、次のような確率質量関数を持つ離散確率分布をベルヌーイ分布^{Bernoulli distribution}と言う。

$$f(x) = p^{x}(1-p)^{1-x}, \qquad x = 0, 1$$

直接計算

期待値の定義により、

$$\begin{align*} E(X) &= \sum\limits_{x = 0, 1} x f(x) \\ &= 0 \cdot f(0) + 1 \cdot f(1) \\ &= 0 \cdot (1-p) + 1 \cdot p \\ &= p \end{align*}$$

分散を得るために$E(X^{2})$を計算しよう。

$$\begin{align*} E(X^{2}) &= \sum\limits_{x = 0, 1} x^{2} f(x) \\ &= 0^{2} \cdot f(0) + 1^{2} \cdot f(1) \\ &= 0^{2} \cdot (1-p) + 1^{2} \cdot p \\ &= p \end{align*}$$

分散は$\Var(X) = E(X^{2}) - E(X)^{2}$なので、

$$\Var(X) = p - p^{2} = p(1-p) = pq$$

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積率母関数から

ベルヌーイ分布の積率母関数は次の通り。

$$m(t) = 1 - p + pe^{t} = q + pe^{t}$$

期待値は$m^{\prime}(0)$なので、

$$E(X) = m^{\prime}(0) = pe^{t}|_{t=0} = p$$

分散を求めるために$m^{\prime\prime}(0)$を計算しよう。

$$m^{\prime\prime}(t) = p e^{t}|_{t=0} = p$$

分散は$\Var(X) = m^{\prime\prime}(0) - m^{\prime}(0)^{2}$なので、

$$\Var(X) = p - p^{2} = p(1-p) = pq$$

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