📂動力学

初期条件に対する感度

定義 ¹

空間 $X = \left( \mathbb{R}^{n} , \left\| \cdot \right\| \right)$ と スムーズな関数 $f,g : X \to X$ に対して、ベクトル場、マップが次のように表現されるとする。
$$\dot{x} = f(x) \\ x \mapsto g(x)$$

$\phi (t, \cdot)$ はベクトル場 $\dot{x} = f(x)$ の フロー、$g^{n}$ はマップ $g$ を $n$ 回取った マップ を表し、$\Lambda \subset X$ が $\phi (t, \cdot)$ または $g(\cdot)$ 下で 不変 コンパクト 集合であるとする。

$\phi (t,x)$ または $g(x)$ が $\Lambda$ で 初期値に敏感^{sensitive dependence on initial conditions}であるとは、すべての $x \in \Lambda$ に対して次を満たす $\varepsilon > 0$ が存在し、$x$ のすべての近傍$U$ に対して次を満たす $y \in U$ と $t > 0$ が存在するということである。
$$\begin{align*} \left\| \phi (t,x) - \phi (t,y) \right\| > \varepsilon \text{ or } \left\| g^{n} (x) - g^{n} (y) \right\| > \varepsilon \end{align*}$$

説明

上記の数式は、初期値が変わるにつれて、私たちが望むだけ短い時間後に、私たちが望むだけ大きな差異が生じることをそのまま記述しており、『初期値に敏感』という表現に不足はない。

関連項目

• 不変集合のカオス
• 多次元マップのカオス
• 微分方程式で表されるシステムのカオス