積分作用素
📂バナッハ空間積分作用素
定義
連続関数空間 C[0,1]に対して、次のように定義される作用素 T:C[0,1]→C[0,1]を積分作用素という。
y=Txwherey(s)=∫01K(s,t)x(t)dt
この時、KをTのカーネル(核)という。(カーネルKは[0,1]×[0,1]上で連続であると仮定される。)
説明
積分作用素は、積分変換とも呼ばれる。普通、Tの定義域及び値域をベクター空間と見れば変換、ノルム空間と見れば作用素と言う。
定理
積分作用素は、線形であり、有界である。
証明
線形性: 定義により自明である。
有界:
連続関数空間のノルム
連続関数空間C[0,1]のノルムを次のように定義する。
∥x∥:=t∈[0,1]max∣x(t)∣,x∈C[0,1]
まず、∣x(t)∣≤t∈[0,1]max=∥x∥である。さらに、Kは連続であるため、閉区間上で有界である。
∣K(s,t)∣≤K0∀(s,t)∈[0,1]
従って、次が得られ、Tは有界である。
∥Tx∥=t∈[0,1]max0∫1K(s,t)x(t)dt≤t∈[0,1]max0∫1∣K(s,t)∣∣x(t)∣dt≤K0∥x∥
■