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積分作用素 📂バナッハ空間

積分作用素

定義1

連続関数空間 C[0,1]C[0 ,1]に対して、次のように定義される作用素 T:C[0,1]C[0,1]T : C[0, 1] \to C[0, 1]積分作用素という。

y=Txwherey(s)=01K(s,t)x(t)dt y = Tx \qquad \text{where} \qquad y(s) = \int_{0}^{1} K(s, t) x(t) dt

この時、KKTTのカーネル(核)という。(カーネルKK[0,1]×[0,1][0, 1] \times [0, 1]上で連続であると仮定される。)

説明

積分作用素は、積分変換とも呼ばれる。普通、TTの定義域及び値域をベクター空間と見れば変換、ノルム空間と見れば作用素と言う。

定理

積分作用素は、線形であり、有界である。

証明

線形性: 定義により自明である。

有界:

連続関数空間のノルム

連続関数空間C[0,1]C[0, 1]のノルムを次のように定義する。

x:=maxt[0,1]x(t),xC[0,1] \left\| x \right\| := \max\limits_{t \in [0, 1]} \left| x(t) \right|,\qquad x \in C[0, 1]

まず、x(t)maxt[0,1]=x\left| x(t) \right| \le \max\limits_{t \in [0, 1]} = \left\| x \right\|である。さらに、KKは連続であるため、閉区間上で有界である。

K(s,t)K0(s,t)[0,1] \left| K(s, t) \right| \le K_{0}\quad \forall (s, t) \in [0, 1]

従って、次が得られ、TTは有界である。

Tx=maxt[0,1]01K(s,t)x(t)dtmaxt[0,1]01K(s,t)x(t)dtK0x \begin{align*} \left\| Tx \right\| &= \max\limits_{t \in [0, 1]} \left| \int\limits_{0}^{1} K(s, t) x(t) dt \right| \\ &\le \max\limits_{t \in [0, 1]} \int\limits_{0}^{1} \left| K(s, t) \right| \left| x(t) \right| dt \\ &\le K_{0} \left\| x \right\| \end{align*}


  1. Erwin Kreyszig, Introductory Functional Analysis with Applications (1978), p94 ↩︎