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コンパクト作用素の同値条件 📂バナッハ空間

コンパクト作用素の同値条件

要旨1

XXYYノルム空間とする。T:XYT : X \to Y線形作用素とする。すると、以下の二つの命題は等価である。

  1. TTコンパクト作用素である。
  2. TTは「XXのすべての有界数列」を「収束する部分列を持つYYの数列」に写像する。

証明

1.2.1. \Longrightarrow 2.

T:XYT : X \to Yをコンパクトと仮定する。

{xn}\left\{ x_{n} \right\}有界数列とする。コンパクト作用素の定義により{Txn}\overline{\left\{ Tx_{n} \right\}}はコンパクトであり、距離空間でのコンパクト性は数列コンパクト性と同等であるため{Txn}\left\{ Tx_{n} \right\}は収束する部分列を持つ。

数列コンパクト性

距離空間XX数列コンパクトsequentially compactであるとは、XXのすべての数列{xn}\left\{ x_{n} \right\}が、XXの点に収束する部分列{xnk}\left\{ x_{n_{k}} \right\}を持つことを意味する。

2.1.2. \Longrightarrow 1.

すべての有界数列{xn}\left\{ x_{n} \right\}が、{Txnk}\left\{ Tx_{n_{k}} \right\}YYで収束するような部分列{xnk}\left\{ x_{n_{k}} \right\}を持つと仮定する。

任意の有界部分集合BXB \subset Xと、T(B)T(B)の任意の数列{yn}\left\{ y_{n} \right\}を考える。すると、BBが有界であるため、xnBx_{n} \in Bが存在し、{xn}\left\{ x_{n} \right\}は有界である。したがって、仮定により、{Txn}\left\{ Tx_{n} \right\}は収束する部分列を持つ。{yn}={Txn}\left\{ y_{n} \right\} = \left\{ Tx_{n} \right\}T(B)T(B)の任意の数列であったので、T(B)T(B)の任意の数列は収束する部分列を持つ。これは、T(B)T(B)が数列コンパクト(=コンパクト)であることを意味する。しかし、初めにBBは任意の有界集合であったため、TTは任意の有界集合BBをプリコンパクト集合に写像する結果を得る。したがって、TTはコンパクト作用素である。

二つのコンパクト線形作用素T1T_{1}T2T_{2}の和T1+T2T_{1} + T_{2}はコンパクト作用素である。また、任意の定数α\alphaに対して、αT1\alpha T_{1}はコンパクト作用素である。

したがって、二つのノルム空間XXからYYへのコンパクト線形作用素の集合はベクトル空間を成す。


  1. Erwin Kreyszig, Introductory Functional Analysis with Applications (1978), p ↩︎