コンパクト作用素の同値条件
📂バナッハ空間コンパクト作用素の同値条件
要旨
XとYをノルム空間とする。T:X→Yを線形作用素とする。すると、以下の二つの命題は等価である。
- Tはコンパクト作用素である。
- Tは「Xのすべての有界数列」を「収束する部分列を持つYの数列」に写像する。
証明
1.⟹2.
T:X→Yをコンパクトと仮定する。
{xn}を有界数列とする。コンパクト作用素の定義により{Txn}はコンパクトであり、距離空間でのコンパクト性は数列コンパクト性と同等であるため、{Txn}は収束する部分列を持つ。
数列コンパクト性
距離空間Xが数列コンパクトsequentially compactであるとは、Xのすべての数列{xn}が、Xの点に収束する部分列{xnk}を持つことを意味する。
2.⟹1.
すべての有界数列{xn}が、{Txnk}がYで収束するような部分列{xnk}を持つと仮定する。
任意の有界部分集合B⊂Xと、T(B)の任意の数列{yn}を考える。すると、Bが有界であるため、xn∈Bが存在し、{xn}は有界である。したがって、仮定により、{Txn}は収束する部分列を持つ。{yn}={Txn}はT(B)の任意の数列であったので、T(B)の任意の数列は収束する部分列を持つ。これは、T(B)が数列コンパクト(=コンパクト)であることを意味する。しかし、初めにBは任意の有界集合であったため、Tは任意の有界集合Bをプリコンパクト集合に写像する結果を得る。したがって、Tはコンパクト作用素である。
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系
二つのコンパクト線形作用素T1とT2の和T1+T2はコンパクト作用素である。また、任意の定数αに対して、αT1はコンパクト作用素である。
したがって、二つのノルム空間XからYへのコンパクト線形作用素の集合はベクトル空間を成す。