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位相空間における数列のコンパクト性とは? 📂位相幾何学

位相空間における数列のコンパクト性とは?

定義1

位相空間 $X$が 数列コンパクトsequentially compactとは、$X$の全ての数列 $\left\{ x_{n} \right\}$が $X$の点に収束する部分数列 $\left\{ x_{n_{k}} \right\}$を持つことを言う。

説明

一般に位相空間では、コンパクトと数列コンパクトは無関係である。例えば、コンパクトだけど数列コンパクトではない空間もあれば、数列コンパクトだけどコンパクトではない空間もある。

距離空間では、コンパクトは同値である。

定理

数列コンパクトならば、可算コンパクトである。


  1. 박대희·안승호, 위상수학 (하) (5/E, 2022), p497 ↩︎