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エネルギーがポテンシャルより小さい時に時間に無関係なシュレーディンガー方程式の解は存在しない 📂量子力学

エネルギーがポテンシャルより小さい時に時間に無関係なシュレーディンガー方程式の解は存在しない

∫−∞∞∣ψ∣2dx=∫−∞∞∣Aeκx+Be−κx∣2dx=∫−∞∞(A2e2κx+2AB+B2e−2κx)dx=[A22κe2κx+2ABx+B2−2κe−2κx]−∞∞=∞ \begin{align*} \int_{-\infty}^{\infty} |\psi|^2 dx &= \int_{-\infty}^{\infty} |Ae^{\kappa x}+Be^{-\kappa x}|^2 dx \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} (A^2e^{2\kappa x}+2AB + B^2e^{-2\kappa x}) dx \\ &= \left[ \frac{A^2}{2\kappa} e^{2\kappa x}+2ABx + \frac{B^2}{-2\kappa} e^{-2\kappa x} \right]_{-\infty}^{\infty} \\ &= \infty \end{align*}

解が二乗積分可能ではなく発散するので、これはψ\psiが物理的（量子力学的）に取り扱う対象ではないという意味。したがって、U>EU>Eの区間では波動関数は存在しない。

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