📂古典力学

物理学における制約条件とは？

定義

粒子や、粒子系が幾何学的に限られた領域（特定の曲線や曲面など）の中だけで動く時、それを拘束運動^{constrained motion}と言い、このような制限自体を拘束条件^constraintと呼ぶ。

説明

韓国語では拘束条件とよく言うが、英語ではconstraint conditionではなく、ただのconstraintだ。

拘束運動の簡単な例には円運動や振り子運動などがある。二次元平面上で半径が$r$の円軌道で動く物体の拘束条件は$x^{2} + y^{2} = r^{2}$である。粒子系の全座標数から（ホロノミックな）拘束条件の数を引いたものを自由度と言う。自由度が$n$の粒子系の座標を拘束条件と無関係の$n$個の座標で表すことを一般化座標と呼ぶ。

ホロノミック

拘束条件が位置と時間に関する方程式だけの時、それをホロノミック^holonomicと呼ぶ。粒子系の全ての拘束条件がホロノミックなら、その粒子系をホロノミックとする。

例えば、3次元で動く$N$個の粒子があるとしよう。この粒子系の拘束条件が$m$個の時、粒子系がホロノミックであることは、拘束条件$f_{j}$に対して次の数式が成り立つということである。

$$f_{j}(x_{i}, y_{i}, z_{i}, t) = 0,\quad i=1,2,\dots,N \quad j=1,2,\dots,m$$

具体的に、半径が$r$の球面上を動く粒子の拘束条件は

$$f(x,y,z) = r^{2} - x^{2} - y^{2} - z^{2} = 0$$

なので、ホロノミックである。逆に、球面の外を動く粒子の拘束条件は$r^{2} - x^{2} - y^{2} - z^{2} \ge 0$なので、ホロノミックではない。簡単に言えば、ホロノミックとは自由度を減らせる拘束条件を意味する。