📂数理物理学

座標空間、デカルト座標系

定義

座標平面と数直線を座標平面の原点で会って直交するように描かれたものを座標空間^{coordinate space}と言う。この時、座標平面と直交する数直線を**$z-$軸と言う。三つの軸から上の図のように決まる場所を点$(a,b,c)$**と言う。点$(0,0,0)$を原点と言う。

• $x$軸と$y$軸で作られる座標平面を$xy-$平面と言う。
• $y$軸と$z$軸で作られる座標平面を$yz-$平面と言う。
• $z$軸と$x$軸で作られる座標平面を$zx-$平面と言う。

説明

これを最初に考えた人であるデカルトの名前を取って(3次元)デカルト座標系^{Cartesian coordinate system}とも言う。

単位ベクトル

デカルト座標系の単位ベクトルは以下のようだ。

$$\begin{align*} \hat{\mathbf{x}} &= \hat{\mathbf{x}}_{1} = \mathbf{i} = (1,0,0) \\ \hat{\mathbf{y}} &= \hat{\mathbf{x}}_{2} = \mathbf{j} = (0,1,0) \\ \hat{\mathbf{z}} &= \hat{\mathbf{x}}_{3} = \mathbf{k} = (0,0,1) \\ \end{align*}$$

したがって、座標空間の任意の点$(x, y, z)$は次のように表される。

$$(x, y, z) = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$$

球面座標系との関係

座標変換

球座標$(r, \theta, \phi)$で3次元デカルト座標を表すと、三角関数の定義から、次のようだ。

$$\begin{align*} x &= r \sin\theta \cos\phi \\ y &= r \sin\theta \sin\phi \\ z &= r \cos\theta \end{align*}$$

逆に、デカルト座標で球座標を表すと、次のようだ。

$$\begin{align*} r &= \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} \\ \theta &= \cos^{-1}\textstyle\frac{z}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}} \\ \phi &= \tan^{-1}\textstyle\frac{y}{x} \end{align*}$$

導出

$$\dfrac{y}{x} = \dfrac{r \sin\theta \sin\phi}{r \sin\theta \cos\phi} = \tan\phi \implies \phi = \tan^{-1}\dfrac{y}{x}$$

$$\cos\theta = \dfrac{z}{r} = \dfrac{z}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}$$