신호의 교차상관함수

定義¹

• アナログ信号

  エネルギー信号 $f \in L^{2}(\mathbb{R})$に関して、次のように定義された$f \star g$を$f$と$g$の相互相関関数^{cross-correlation function}と呼ぶ。

  $$ (f \star g)(\tau) = R_{fg}(\tau) := \int_{-\infty}^{\infty} \overline{f(t)} g(t + \tau) dt $$

  このとき、$\overline{f(t)}$は$f(t)$の共役複素数である。

• デジタル信号

  エネルギー信号$\left\{ x_{n} \right\} \in \ell^{2}$の相互相関関数を次のように定義する。

  $$ (x\star y)[n] = R_{xy}(m) := \sum\limits_{n \in \mathbb{N}} \overline{x_{n}}y_{n+m} $$

説明

定義により、自己相関関数 $R_{f}(\tau)$は相互相関関数で$g=f$の場合である。

相互相関関数のフーリエ変換を相互（エネルギー）スペクトル^{cross (energy) spectrum}と呼ぶ。

$$ S_{fg}(\omega) := \int_{-\infty}^{\infty} R_{fg}(\tau)e^{-i\tau \omega} d\tau = \hat{R}_{fg}(\omega) $$

参照

• 畳み込み
• 自己相関関数
• 相互相関関数

確率過程

• 確率過程の自己相関関数
• 確率過程の相互相関関数