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L²空間 📂バナッハ空間

L²空間

定義1

二乗収束する数列の集合をℓ2(N)\ell^{2}(\mathbb{N})と表記する。

ℓ2(N):={{xk}k∈N:x∈C(or R),∑k∈N∣xk∣2<∞} \ell^{2}(\mathbb{N}) := \left\{ \left\{ x_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} : x \in \mathbb{C}(\text{or } \mathbb{R}),\quad \sum\limits_{k \in \mathbb{N}} \left| x_{k} \right|^{2} \lt \infty \right\}

簡単に次のようにも表記する。

x={xk}k∈N=(x1,x2,…,xn,… ) \mathbf{x} = \left\{ x_{k} \right\}_{k \in \mathbb{N}} = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}, \dots)

説明

ℓ2\ell^{2}空間はℓp\ell^{p}空間がp=2p=2の時の特別な場合で、ℓp\ell^{p}の中で唯一の内積空間だ。

性質

ベクトル空間ℓ2\ell^{2}は

  • ヒルベルト空間、つまり完備内積空間だ。内積は次のように与えられる。 ⟨x,y⟩:=∑k∈Nxkyk‾ \braket{\mathbf{x}, \mathbf{y}} := \sum\limits_{k \in \mathbb{N}} x_{k}\overline{y_{k}}
  • バナッハ空間、つまり完備ノルム空間だ。ノルムは次のように与えられる。 ∥x∥2:=(∑k∈N∣xk∣2)12=⟨x,x⟩ \left\| \mathbf{x} \right\|_{2} := \left( \sum\limits_{k\in \mathbb{N}} \left| x_{k} \right|^{2} \right)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\braket{\mathbf{x}, \mathbf{x}}}
  • 距離空間だ。距離は次のように与えられる。 d(x,y):=(∑k∈N∣xk−yk∣2)12=∥x−y∥2=⟨x−y,x−y⟩ d(\mathbf{x}, \mathbf{y}) := \left( \sum\limits_{k\in \mathbb{N}} \left| x_{k} - y_{k} \right|^{2} \right)^{\frac{1}{2}} = \left\| \mathbf{x} - \mathbf{y} \right\|_{2} = \sqrt{\braket{\mathbf{x} - \mathbf{y}, \mathbf{x} - \mathbf{y}}}
  • コーシー・シュワルツの不等式が成立する。 ∣⟨x,y⟩∣=∣∑k∈Nxkyk‾∣2≤(∑k∈N∣xk∣2)(∑k∈N∣yk∣2)=⟨x,x⟩12⟨y,y⟩12 \left| \braket{\mathbf{x}, \mathbf{y}} \right| = \left| \sum\limits_{k \in \mathbb{N}} x_{k}\overline{y_{k}} \right|^{2} \le \left( \sum\limits_{k \in \mathbb{N}} \left| x_{k} \right|^{2} \right) \left( \sum\limits_{k \in \mathbb{N}} \left| y_{k} \right|^{2} \right) = \braket{\mathbf{x}, \mathbf{x}}^{\frac{1}{2}} \braket{\mathbf{y}, \mathbf{y}}^{\frac{1}{2}}

定理

  1. Ole Christensen, Functions, Spaces, and Expansions: Mathematical Tools in Physics and Engineering (2010), p65-66 ↩︎