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絶対連続実関数 📂測度論

絶対連続実関数

定義1

関数 f:RR(または C)f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} (\text{または } \mathbb{C}) が与えられたとする。ffが任意の有限個の互いに素な区間 (ai,bi)[a,b](a_{i}, b_{i}) \subset [a,b]に対しても以下の条件を満たす場合、[a,b][a, b] 上で 絶対連続absolutely continuousと言われる。

ϵ>0δ>0 such that i=1N(biai)<δ    i=1Nf(bj)f(aj)<ϵ \forall \epsilon \gt 0 \quad \exist \delta \gt 0 \text{ such that } \sum\limits_{i=1}^{N} (b_{i} - a_{i}) \lt \delta \implies \sum\limits_{i=1}^{N} \left| f(b_{j}) - f(a_{j}) \right| \lt \epsilon

説明

定義により、絶対連続であれば一様連続でもある。

性質

ffが微分可能であり、導関数 ff’有界であれば、ffは絶対連続である。

参照


  1. Gerald B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications (2nd Edition, 1999), p105 ↩︎