📂測度論

絶対連続実関数

定義¹

関数 $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} (\text{または } \mathbb{C})$ が与えられたとする。$f$が任意の有限個の互いに素な区間 $(a_{i}, b_{i}) \subset [a,b]$に対しても以下の条件を満たす場合、$[a, b]$ 上で 絶対連続^{absolutely continuous}と言われる。

$$ \forall \epsilon \gt 0 \quad \exist \delta \gt 0 \text{ such that } \sum\limits_{i=1}^{N} (b_{i} - a_{i}) \lt \delta \implies \sum\limits_{i=1}^{N} \left| f(b_{j}) - f(a_{j}) \right| \lt \epsilon $$

説明

定義により、絶対連続であれば一様連続でもある。

性質

$f$が微分可能であり、導関数 $f’$ が有界であれば、$f$は絶対連続である。

参照

• 実数関数の絶対連続性
• 測度の絶対連続性
• 符号付き測度の絶対連続性