📂関数

同次関数

定義

定数$a$と関数$f$に対して、次を満たす$k \in \mathbb{N}$が存在する場合、$f$を$k$次の同次関数^{$k$次の同次関数}と言う。

$$f(ax) = a^{k}f(x)$$

多変数関数の場合には、

$$f(ax_{1}, ax_{2}, \dots, ax_{n}) = a^{k}f(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$$

説明

一変数関数の場合は、最高次項のみを持つ多項式関数と同じである。例えば、2次の同次関数は2次項のみを持つ2次関数である。$f(x) = x^{2}$の場合、

$$f(ax) = a^{2}x^{2} = a^{2}f(x)$$

多変数関数の場合は、各項のすべての変数の次数の和が同じでなければならない。例えば、2変数関数$f(x,y)$が同次関数であるには、次のような形でなければならない。

$$f(x,y) = ax^{2} + bxy + cy^{2}$$

ここに$x^{2}y$のような項が入ると、同次関数の定義を満たさない。