テイラーの定理の剰余項
定義1 2
$k$番の微分可能な関数$f$について、下のように定義される$P_{k}$を点$a$での$f$のテイラー多項式と言う。
$$ P_{k} (x) := f(a) + f^{\prime}(a) (x-a) + \dfrac{f^{\prime \prime}(a)}{2!}(x-a)^{2} + \cdots + \dfrac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^{k} $$
$f$と$P_{k}$の差を残余項と言う。
$$ R_{k}(x) = f(x) - P_{k}(x) $$
説明
$$ f(x) = P_{k}(x) + R_{k}(x) = \sum \limits_{n=0}^{k} \dfrac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^{n} + R_{k}(x) $$
$f$をテイラー多項式$P_{k}$と残りで整理すれば、残り$R_{k}$は$f$を$k$回目の導関数までの展開で近似したときの誤差になる。
ペアノ形式
$R_{k}(x) = \mathcal{o}((x-a)^{k})$のような残余をペアノ形式の残余と言う。
$$ f(x) = \sum \limits_{n=0}^{k} \dfrac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^{n} + \mathcal{o}((x-a)^{k}) $$
この時$\mathcal{o}((x-a)^{k})$は$\lim \limits_{x \to a} \dfrac{g(x)}{(x-a)^{k}} = 0$を満たす任意の関数$g$を意味する。主に残余を具体的に明記せずにだいたい書きたいときに使用する。
ラグランジュ形式
$R_{k}(x) = \dfrac{f^{(k+1)}(\xi)}{(k+1)!} (x-a)^{k+1}$のような残余をラグランジュ形式の残余と言う。
$$ f(x) = \sum \limits_{n=0}^{k} \dfrac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^{n} + \dfrac{f^{(k+1)}(\xi)}{(k+1)!} (x-a)^{k+1} \quad \text{for some } \xi \in (x,a) $$
ペアノ形式と一緒によく使われる形の一つだ。$k=0$を代入すると平均値の定理になる。
$$ f(x) = f(a) + f^{\prime}(\xi)(x-a) \implies \dfrac{f(x) - f(a)}{x-a} = f^{\prime}(\xi) $$
以下のような代わりの方程式を導出できる:
$n$の場合 $$ f(x + p) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} \dfrac{f^{(k)}(x)}{k!}p^{n} + \dfrac{1}{n!}f^{(n)}(x + \xi p) p^{n} \quad \text{for some } \xi \in (0,1) $$
$n=1$ $$ f(x + p) = f(x) + pf^{\prime}(x + \xi p) \quad \text{for some } \xi \in (0,1) $$
$n=2$ $$ f(x + p) = f(x) + pf^{\prime}(x) + \dfrac{1}{2!}p^{2} f^{\prime \prime}(x + \xi p) \quad \text{for some } \xi \in (0,1) $$
導出3
証明方法は変わらないので、$n=2$の場合のみ示す。適切な$g$に対して残余をラグランジュ形式でテイラー展開すれば、
$$ g(t_{1}) = g(t_{0}) + g^{\prime}(t_{0}) (t_{1} - t_{0}) + \dfrac{1}{2!}g^{\prime \prime}(\xi) (t_{1} - t_{0})^{2} \quad \text{for some } \xi \in (t_{0},t_{1}) $$
ここで$t_{0}=0$、$t_{1}=1$を代入すると、
$$ g(1) = g(0) + g^{\prime}(0) + \dfrac{1}{2!}g^{\prime \prime}(\xi) \quad \text{for some } \xi \in (0,1) $$
今$g(\xi) = f(x + \xi p)$とすると、$g^{\prime}(\xi) = pf^{\prime}(x + \xi p)$、$g^{\prime \prime}(\xi) = p^{2}f^{\prime \prime}(x + \xi p)$なので
$$ f(x + p) = f(x) + pf^{\prime}(x) + \dfrac{1}{2!}p^{2} f^{\prime \prime}(x + \xi p) \quad \text{for some } \xi \in (0,1) $$
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コーシー形式
$R_{k}(x) = \dfrac{f^{(k+1)}(\xi)}{k!} (x-\xi)^{k} (x-a)$のような残余をコーシー形式の残余と言う。
$$ f(x) = \sum \limits_{n=0}^{k} \dfrac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^{n} + \dfrac{f^{(k+1)}(\xi)}{k!} (x-\xi)^{k} (x-a) \quad \text{for some } \xi \in (x,a) $$
積分形式
$\displaystyle R_{k}(x) = \int_{a}^{x} \dfrac{f^{(k+1)}(t)}{k!} (x-t)^{k} dt$を積分形式の残余と言う。
$$ \begin{equation} f(x) = \sum \limits_{n=0}^{k} \dfrac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^{n} + \int_{a}^{x} \dfrac{f^{(k+1)}(t)}{k!} (x-t)^{k} dt \end{equation} $$
$$ \begin{equation} f(x + p) = \sum \limits_{n=0}^{k} \dfrac{f^{(n)}(x)}{n!} p^{n} + \int_{0}^{1} \dfrac{f^{(k+1)}(x + tp)}{k!} (1-t)^{k} dt p^{k+1} \end{equation} $$
導出
(1)
微分積分学の基本定理によって
$$ \begin{equation} f(x) - f(a) = \int_{a}^{x} f^{\prime}(t_{1})dt_{1} \implies f(x) = f(a) + \int_{a}^{x} f^{\prime}(t_{1})dt_{1} \end{equation} $$
これを$f^{\prime}(t_{1})$にも適用すれば、
$$ \begin{equation} f^{\prime}(t_{1}) = f^{\prime}(a) + \int_{a}^{t_{1}} f^{\prime \prime}(t_{2})dt_{2} \end{equation} $$
$(4)$を$(3)$に代入すれば、
$$ \begin{align*} f(x) &= f(a) + \int_{a}^{x} \left( f^{\prime}(a) + \int_{a}^{t_{1}} f^{\prime \prime}(t_{2})dt_{2} \right) dt_{1} \\ &= f(a) + f^{\prime}(a) (x-a) + \int_{a}^{x} \int_{a}^{t_{1}} f^{\prime \prime}(t_{2})dt_{2} dt_{1} \\ &= f(a) + f^{\prime}(a) (x-a) + \int_{a}^{x} \int_{a}^{t_{1}} f^{\prime \prime}(t_{2})dt_{2} dt_{1} \\ \end{align*} $$
$f^{\prime \prime}(t_{2})$はまた以下のようである。
$$ f^{\prime \prime}(t_{2}) = f^{\prime \prime}(a) + \int_{a}^{t_{2}} f^{\prime \prime \prime}(t_{3})dt_{3} $$
この式に代入すれば、
$$ \begin{align*} f(x) &= f(a) + f^{\prime}(a) (x-a) + \int_{a}^{x} \int_{a}^{t_{1}} f^{\prime \prime}(t_{2})dt_{2} dt_{1} \\ &= f(a) + f^{\prime}(a) (x-a) + \int_{a}^{x} \int_{a}^{t_{1}} \left( f^{\prime \prime}(a) + \int_{a}^{t_{2}} f^{\prime \prime \prime}(t_{3})dt_{3} \right)dt_{2} dt_{1} \\ &= f(a) + f^{\prime}(a) (x-a) + \int_{a}^{x} \int_{a}^{t_{1}} f^{\prime \prime}(a) dt_{2} dt_{1} + \int_{a}^{x}\int_{a}^{t_{1}}\int_{a}^{t_{2}} f^{\prime \prime \prime}(t_{3})dt_{3} dt_{2} dt_{1} \\ &= f(a) + f^{\prime}(a) (x-a) + \frac{f^{\prime \prime}(a)}{2}(x-a)^{2} + \int_{a}^{x}\int_{a}^{t_{1}}\int_{a}^{t_{2}} f^{\prime \prime \prime}(t_{3})dt_{3} dt_{2} dt_{1} \\ \end{align*} $$
これを繰り返すと、
$$ f(x) = \sum \limits_{n=0}^{k} \dfrac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^{n} + \int_{a}^{x} \cdots \int_{a}^{t_{k}} f^{(k+1)}(t_{k+1})dt_{k+1} \cdots dt_{1} \\ $$
後ろの積分を見れば、簡単に積分が2つある時を考えると、以下のように積分の順序と範囲を変えることができる。
$$ \int_{a}^{x} \int_{a}^{t_{1}} f^{\prime \prime}(t_{2})dt_{2} dt_{1} = \int_{a}^{x} \int_{t_{2}}^{x} f^{\prime \prime}(t_{2})dt_{1} dt_{2} $$
$$ \begin{cases} a \lt t_{2} \lt t_{1} \\ a \lt t_{1} \lt x \end{cases} = \begin{cases} a \lt t_{2} \lt x \\ t_{2} \lt t_{1} \lt x \end{cases} $$
従って、後ろの積分項は、
$$ \begin{align*} &\int_{a}^{x} \int_{a}^{t_{1}} \cdots \int_{a}^{t_{k-1}} \int_{a}^{t_{k}} f^{(k+1)}(t_{k+1})dt_{k+1}dt_{k} \cdots dt_{2} dt_{1} \\ &=\int_{a}^{x} \int_{t_{k+1}}^{x} \cdots \int_{t_{3}}^{x} \int_{t_{2}}^{x} f^{(k+1)}(t_{k+1})dt_{1}dt_{2} \cdots dt_{k} dt_{k+1} \\ &=\int_{a}^{x} f^{(k+1)}(t_{k+1}) \int_{t_{k+1}}^{x} \cdots \int_{t_{3}}^{x} \int_{t_{2}}^{x} dt_{1}dt_{2} \cdots dt_{k} dt_{k+1} \\ &=\int_{a}^{x} f^{(k+1)}(t_{k+1}) \dfrac{(x-t_{k+1})^{k}}{k!} dt_{k+1} \\ &=\int_{a}^{x} f^{(k+1)}(t) \dfrac{(x-t)^{k}}{k!} dt \end{align*} $$
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(2)
$(1)$を$\gamma$に対して使うと、
$$ \gamma (s_{1}) = \sum \limits_{n=0}^{k} \dfrac{\gamma^{(n)}(s_{0})}{n!} (s_{1}-s_{0})^{n} + \int_{s_{0}}^{s_{1}} \dfrac{\gamma^{(k+1)}(t)}{k!} (s_{1}-t)^{k} dt $$
$s_{1} = 1$、$s_{0}=0$を代入すると、
$$ \gamma (1) = \sum \limits_{n=0}^{k} \dfrac{\gamma^{(n)}(0)}{n!} + \int_{0}^{1} \dfrac{\gamma^{(k+1)}(t)}{k!} (1-t)^{k} dt $$
今$\gamma (t) = f(x + tp)$と置くと、$\gamma ^{(n)}(t) = \frac{d^{n} \gamma (t)}{d t^{n}} = p^{n}f^{(n)}(x +tp)$であるため、
$$ f(x + p) = \sum \limits_{n=0}^{k} \dfrac{f^{(n)}(x)}{n!} p^{n} + \int_{0}^{1} \dfrac{f^{(k+1)}(x + tp)}{k!} (1-t)^{k} dt p^{k+1} $$
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