📂行列代数

線形代数における射影

定義

正方行列 $P \in \mathbb{C}^{m \times m}$ が $P^2 = P$ であれば、射影作用素^projectorという。

説明

代数学の用語では、冪等元^idempotentと表現し、同様に $a^2 = a$ のような元を指す。

$P$ が射影であるなら、$(I-P)^2 = I - 2P + P^2 = I - 2P + P = (I-P)$ であり、従って $(I-P)$ も射影であることがわかる。

このような射影作用素 $(I - P)$ を $P$ の補射影作用素^{complementary Projector}と呼ぶ。

射影を幾何学的に考えると、空間図形に光を当ててその影を得ることである。例えば、$f(x,y,z) := (x,y,0)$ のような関数は $z$ 軸の方向に光を投げて、$xy$ 平面にできる影を表す。その影を再度射影しても結果は同じで、その意味で $P^2 = P$ が射影作用素である定義は理にかなっていると言える。

性質

射影 $P \in \mathbb{C}^{m \times m}$ とその補射影 $I-P$ は次の性質を満たす。

(a) $\mathcal{C} (I-P) = \mathcal{N} (P)$

(b) $\mathcal{N} (1-P) = \mathcal{C} (P)$

(c) $\mathcal{N} (1-P) \cap \mathcal{N} (P) = \left\{ 0 \right\}$

(d) $\mathcal{C} (P) \cap \mathcal{N} (P) = \left\{ 0 \right\}$

(e) $\mathcal{C} (P) \oplus \mathcal{N} (P) = \mathbb{C}^{m}$

証明

(a)(b)

$\mathcal{C} ( I - P)$ と $\mathcal{N}(P)$ が互いに含まれることを示せばよい。任意のベクトル $\mathbf{v} \in \mathbb{C}^{m}$ に対して、

$$(I - P) \mathbf{v} = \mathbf{v} - P \mathbf{v}$$

もし $\mathbf{v} \in \mathcal{N} (P)$ ならば、$P \mathbf{v} = \mathbb{0}$ となり、従って $(I - P) \mathbf{v} = \mathbf{v}$、つまり $\mathbf{v} \in \mathcal{C} (I - P)$ であり、

$$\mathcal{N} (P) \subset \mathcal{C} (I - P)$$

$\mathbf{w} \in \mathcal{C} (I-P)$ とすると、$\mathbf{w} = (I - P) \mathbf{v}$ を満たす $\mathbf{v}$ も $\mathcal{C} (I-P)$ に存在する。$\mathbf{w} = (I - P) \mathbf{v}$ に射影 $P$ を適用すると、

$$P \mathbf{w} = P \mathbf{v} - P^2 \mathbf{v} = P \mathbf{v} - P \mathbf{v} = \mathbb{0}$$

つまり $\mathbf{w} \in \mathcal{N} (P)$ であり、従って、

$$\mathcal{C} (I - P) \subset \mathcal{N} (P)$$

これにより (1) が証明され、$P = I - (I- P)$ であるから、射影 $P$ の補射影 $(I - P)$ について考えると、すぐに (2) が証明される。

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(c)(d)

$\mathbf{v} \in \mathcal{N} (I - P) \cap \mathcal{N} (P)$ が零ベクトルではないと仮定する。しかし、$\mathbf{v} \in \mathcal{N} (I - P)$ であるから、$(I-P) \mathbf{v} = \mathbb{0}$ であり、$\mathbf{v} \in \mathcal{N} (P)$ であるから、

$$P \mathbf{v} = \mathbb{0}$$

両辺を足せば $(I-P) \mathbf{v} + P \mathbf{v} = \mathbf{v} = \mathbb{0}$ となり、これは仮定に矛盾する。

これにより (3) が証明され、1 と 2 によってすぐに 4 も証明される。

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(e)

直和の定義に従い、存在性、排他性、一意性を示せばよい。

• (i) 存在性

  (a) により $\mathcal{N} (P) = \mathcal{C} (I - P)$ であり、任意のベクトル $\mathbf{s} \in \mathbb{C}^{m}$ に対して、$P \mathbf{s} \in \mathcal{C}(P)$ そして $(I - P)\mathbf{s} \in \mathcal{C} (I - P)$ である。

一方、$P \mathbf{s} + (I - P) \mathbf{s} = P \mathbf{s} + \mathbf{s} - P \mathbf{s} = s \in \mathbb{C}^{m}$ であるから、$\mathbf{s}$ は常に $\mathcal{C}(P)$ と $\mathcal{C} (I - P)$ の和として表すことができる。

• (ii) 排他性

  既に (d) で証明されている。

• (iii) 一意性

  上記の (ii) により、$s \in \mathbb{C}^{m}$ に対して、

  $$\mathbf{s} = \mathbf{c}_{1} + \mathbf{n}_{1} = \mathbf{c}_{2} + \mathbf{n}_{2}$$

  を満たす $\mathbf{c}_{1} , \mathbf{c}_{2} \in \mathcal{C}(P)$ と $\mathbf{n}_{1}, \mathbf{n}_{2} \in \mathcal{N}(P)$ が存在する。

ここで $\mathbf{c}_{1} \ne \mathbf{c}_{2}$ と $\mathbf{n}_{1} \ne \mathbf{n}_{2}$ と仮定する。

$\mathbf{c}_{1} + \mathbf{n}_{1} = \mathbf{c}_{2} + \mathbf{n}_{2}$ の両辺に $P$ を乗じると、

$$P\mathbf{c}_{1} + P\mathbf{n}_{1} = P\mathbf{c}_{2} + P\mathbf{n}_{2}$$

一方、$\mathbf{n}_{1}, \mathbf{n}_{2} \in \mathcal{N} (P)$ であるから、

$$P\mathbf{c}_{1} = P\mathbf{c}_{2}$$

つまり $P( \mathbf{c}_{1} - \mathbf{c}_{2} ) = \mathbb{0}$。零空間の定義から、$( \mathbf{c}_{1} - \mathbf{c}_{2}) \in \mathcal{N}(P)$ であり、ベクトル空間の性質から、$( \mathbf{c}_{1} - \mathbf{c}_{2}) \in \mathcal{C}(P)$ だが、(排他性) により、$\mathbf{c}_{1} - \mathbf{c}_{2} = \mathbb{0}$ でなければならない。

これは $\mathbf{c}_{1} \ne \mathbf{c}_{2}$ という仮定と矛盾するし、同様に $\mathbf{n}_{1} = \mathbf{n}_{2}$ も証明できる。

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参考

• 抽象代数学での冪等元