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放物線型偏微分方程式 📂偏微分方程式

放物線型偏微分方程式

定義1 2

以下のu(t,x)u(t,x)についての2階線形偏微分方程式について考えよう。

Autt+Butx+Cuxx+Dut+Eux+Fu+G=0(ABC0)(1) Au_{tt} + Bu_{tx} + Cu_{xx} + Du_{t} + Eu_{x} + Fu + G = 0\qquad (ABC \ne 0) \tag{1}

ここで、係数A,,GA, \dots, G(t,x)(t,x)の関数である。Δ=B24AC\Delta = B^{2} - 4AC判別式と言う。判別式が00である偏微分方程式(1)(1)放物型偏微分方程式と呼ぶ。

(1) is called parabolic, if Δ(t,x)=0. (1) \text{ is called parabolic, if } \Delta (t,x) = 0.

説明

実際に放物型偏微分方程式と呼ぶことは稀で、一般には[パラボリックPDE]と単に呼ばれる。名前の由来はもちろん放物線からである。

二次曲線Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0Ax^{2} + Bxy + Cy^{2} + Dx + Ey + F = 0B24AC=0B^{2} - 4AC = 0を満たす時、それは放物線である。

狭義では、熱方程式を指す。

utΔu=0(Δ=024(0)(1)=0) u_{t} - \Delta u = 0 \qquad (\Delta = 0^{2} - 4(0)(-1) = 0)


  1. Peter J. Olver, Introduction to Partial Differential Equations (2014), p171-173 ↩︎

  2. Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations (2nd Edition, 2010), p372 ↩︎