古典情報理論における相対エントロピー（クルバック・ライブラー発散）とは？

離散確率変数 $X$の確率質量関数 $p, q$について、$p$の$q$に関する相対エントロピー^{relative entropy}を次のように定義する。

$$D(p \| q) := \sum p(x) \log_{2} \dfrac{p(x)}{q(x)} \tag{1}$$

このとき、$p \ne 0$について、$p \log_{2}(\frac{p}{0}) := \infty$で定義する。連続確率変数については積分で定義される。

$$D(p \| q) := \int p(x) \ln \dfrac{p(x)}{q(x)} dx$$

期待値の形は次の通り。

$$D(p \| q) = E_{p} \left[ \log \dfrac{p(X)}{q(X)} \right]$$

説明

相対エントロピーはクルバック-ライブラー発散^{Kullback-Leibler divergence (KLd)}とも呼ばれ、次のような記法が用いられる。

$$D(p \| q) = D_{\text{KL}}(p \| q) = H(p \| q)$$

$D(p \| q)$は（$X$の実際の分布が$p$の時）$X$の分布を$q$と仮定することがどれほど良くないか、言い換えれば$q$が$p$とどれほど異なるかを測る尺度である。$-\log q$が$q$の情報量を意味するので、定義$(1)$は$q$と$p$の情報の差の平均を意味する。

$$\begin{align*} \sum p(x) \log_{2} \dfrac{p(x)}{q(x)} &= \sum p(x) \big[ -\log_{2}q(x) - (-\log_{2}p(x)) \big] \\ &= \sum p(x) \big[ I(q(x)) - I(p(x)) \big] \\ &= E \big[ I(q) - I(p) \big] \end{align*}$$

性質

1. 非対称性^Non-symmetry
   $$D(p \| q) \ne D(q \| p)$$

2. 非負性^{Non-negativity}
   $$D(p \| q) \ge 0$$
   等号は$p = q$のとき成立する。

証明

2.

$p=q$の場合、定義により$D(p \| q) = 0$であるため、$p \ne q$について考える。

$$\begin{align*} -D(p \| q) &= \sum p(x) \log_{2} \dfrac{q(x)}{p(x)} \\ &\le \log_{2} \left( \sum p(x) \dfrac{q(x)}{p(x)} \right) \\ &= \log_{2} \left( \sum q(x) \right) \\ &= \log_{2} 1 \\ &= 0 \end{align*}$$

不等号は、対数関数が凹関数なので、イェンセンの不等式により成り立つ。

イェンセンの不等式

$f$が凹関数であれば、以下が成り立つ。$\sum_{k=1}^{n} \lambda_{k} = 1$について、

$$f\left( \sum\limits_{k=1}^{n}\lambda_{k}x_{k} \right) \ge \sum\limits_{k=1}^{n} \lambda_{k} f(x_{k})$$

したがって両辺にマイナスをかけると、

$$0 \le D(p \| q)$$

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関連項目

• 確率情報理論における相対エントロピー