📂量子力学

角運動量のラダー演算子

定義

各運動量演算子 $L_{z}$に対応するはしご演算子は次の通り。

$$L_{+} := L_{x} + \i L_{y} \\ L_{-} := L_{x} - \i L_{y}$$

$L_{+}$を昇演算子^{raising operator}、$L_{-}$を降演算子^{lowering operator}と呼ぶ。

説明 ^{1 2}

演算子の名前が昇/降である理由は、$L_{\pm}$が各運動量演算子$L_{z}$の同時固有関数の状態^stateを上げたり下げたりする働きをするため。$L^{2}$および$L_{z}$の同時固有関数を$\psi$とし、演算子$L_{z}$の固有値方程式が下記のようであるとする。

$$L_{z} \psi = \mu \psi$$

この時、$L_{\pm}\psi$は$\psi$より固有値が$\pm \hbar$大きい$L_{z}$の固有関数であることを次のように示せる。以下の性質$(2)$を用いると、

$$\begin{align*} L_{z}(L_{\pm}\psi) &= (L_{\pm}L_{z} \pm \hbar L_{\pm})\psi \\ &= L_{\pm}L_{z}\psi \pm \hbar L_{\pm}\psi \\ &= L_{\pm}\mu\psi \pm \hbar L_{\pm}\psi \\ &= \mu L_{\pm}\psi \pm \hbar L_{\pm}\psi \\ &= (\mu \pm \hbar)L_{\pm}\psi\\ \end{align*}$$

一方、$(3)$により$L^{2}$の固有値は変わらないことがわかる。$L^{2}$の固有値方程式が$L^{2}\psi = \lambda \psi$であるなら、

$$\begin{align*} L^{2}(L_{\pm}\psi) &= (L_{\pm}L^{2})\psi \\ &= L_{\pm}(L^{2}\psi) \\ &= L_{\pm}l\lambda\psi \\ &= \lambda L_{\pm}\psi \end{align*}$$

性質

はしご演算子に対して次の式が成り立つ。

$$\begin{align} L_{+}L_{-} &= L^{2} - L_{z}^{2} + \hbar L_{z} \nonumber \\ L_{-}L_{+} &= L^{2} - L_{z}^{2} - \hbar L_{z} \nonumber \\ L^{2} &= L_{+}L_{-} + L_{z}^{2} - \hbar L_{z} \nonumber \\ &= L_{-}L_{+} + L_{z}^{2} + \hbar L_{z} \nonumber \\ [L_{z}, L_{\pm}] &= \pm\hbar L_{\pm} \\ L_{z}L_{\pm} &= L_{\pm}L_{z} \pm \hbar L_{\pm} \\ [L^{2}, L_{\pm}] &= 0 \\ L_{x} &= \dfrac{1}{2}(L_{+} + L_{-}) \nonumber \\ L_{y} &= -\dfrac{\i}{2}(L_{+} - L_{-}) \nonumber \\ \end{align}$$

$(1)$は、$L_{\pm}$が$L_{z}$のはしご演算子になる条件。

証明

単純な計算で示せる。演算子の積では交換法則が一般的に成り立たないことに注意しよう。

$$\begin{align*} L_{+}L_{-} &= (L_{x} + \i L_{y})(L_{x}-\i L_{y}) \\ &= {L_{x}}^{2} + \i L_{y}L_{x} - \i L_{x}L_{y} + {L_{y}}^{2} \\ &= {L_{x}}^{2}+{L_{y}}^{2} - \i[L_{x},L_{y}] \\ &= {L}^{2} -{L_{z}}^{2} +\hbar L_{z} \end{align*}$$

$$\begin{align*} L_{-}L_{+} &= (L_{x} - \i L_{y})(L_{x} + \i L_{y}) \\ &= {L_{x}}^{2} - \i L_{y}L_{x} + \i L_{x}L_{y} + {L_{y}}^{2} \\ &= {L_{x}}^{2} + {L_{y}}^{2} + \i[L_{x},L_{y}] \\ &= L^{2} - {L_{z}}^{2} -\hbar L_{z} \end{align*}$$

上記の二つの結果から次のことが得られる。

$$\begin{align*} L^{2} &= L_{+}L_{-} + {L_{z}}^{2} -\hbar L_{z} \\ &= L_{-}L_{+} + {L_{z}}^{2} + \hbar L_{z} \\ &= L_{\pm} L_\mp + {L_{z}}^{2} \mp \hbar L_{z} \end{align*}$$

各運動量演算子の交換関係

$$\begin{align*} \left[ L_{y}, L_{z} \right] &= \i \hbar L_{x} \\ \left[ L_{z}, L_{x} \right] &= \i \hbar L_{y} \\ \left[ L^{2}, L_{x} \right] &= \left[ L^{2}, L_{y} \right] = 0 \end{align*}$$

各運動量演算子の交換関係から以下のように計算される。

$$\begin{align*} [L_{z},L_{\pm}] &= [L_{z}, L_{x} \pm \i L_{y}] \\ &= [L_{z}, L_{x}] \pm \i [L_{z}, L_{y}] \\ &= \i\hbar L_{y} \pm \i (-\i\hbar L_{x}) \\ &= \pm \hbar(L_{x} \pm \i L_{y}) \\ &= \pm \hbar L_{\pm} \end{align*}$$

上記の結果から自然に次の式を得る。

$$L_{z}L_{\pm} = L_{\pm}L_{z} \pm \hbar L_{\pm}$$

同様に下記の式も各運動量演算子の交換関係から得られる。

$$\begin{align*} [L^{2}, L_{\pm}] &= [L^{2}, L_{x} \pm \i L_{y}] \\ &= [L^{2},L_{x}] \pm \i [L^{2} , L_{y}] \\ &= 0 \end{align*}$$

$L_{+}$と$L_{-}$を連立すると次のように得られる。

$$\begin{align*} L_{x} &= \dfrac{1}{2} (L_{+} + L_{-}) \\ L_{y} &= -\dfrac{\i}{2}(L_{x} - L_{-}) \end{align*}$$

■