量子トポロジー/CCNOTゲート

定義¹

（古典的トフォリゲート $(a, b, c) \mapsto (a, b, (a \land b) \oplus c)$の定義から）$3$キュービット $\ket{a, b, c} = \ket{a} \otimes \ket{b} \otimes \ket{c}$に対して、 量子トフォリゲート^{quantum Toffoli gate} を以下のように定義する。

$$ \begin{align*} T_{q} : (\mathbb{C}^{2})^{\otimes 3} &\to (\mathbb{C}^{2})^{\otimes 3} \\ \ket{a, b, c} &\mapsto \ket{a, b, (a \land b) \oplus c},\quad \forall a,b,c \in \left\{ 0, 1 \right\} \end{align*} $$

$$ \operatorname{CNOT}_{q} (\ket{a} \otimes \ket{b} \otimes \ket{c}) = \ket{a} \otimes \ket{b} \otimes \ket{ (a \land b) \oplus c } $$

ここで、$(\mathbb{C}^{2})^{\otimes 3}$はベクトル空間のテンソル積、$\ket{a} \otimes \ket{b} \otimes \ket{c}$は積ベクトル、$\land$は論理積、$\oplus$は排他的論理和である。

説明

古典的トフォリゲートの量子コンピューター版である。古典的トフォリゲートが万能ゲートであるのに対し、量子トフォリゲートは万能ゲートではない。量子トフォリゲートだけでなく、量子コンピューティングにおいては万能ゲートが存在しない。

$T_{q}$の具体的な入出力は以下の通りである。入力が$\ket{110}, \ket{111}$の時だけ出力が変わる。

$$ T_{q} (\ket{000}) = \ket{0, 0, (0 \land 0) \oplus 0} = \ket{000} \\[0.5em] T_{q} (\ket{001}) = \ket{0, 0, (0 \land 0) \oplus 1} = \ket{001} \\[0.5em] T_{q} (\ket{010}) = \ket{0, 1, (0 \land 1) \oplus 0} = \ket{010} \\[0.5em] T_{q} (\ket{011}) = \ket{0, 1, (0 \land 1) \oplus 1} = \ket{011} \\[0.5em] T_{q} (\ket{100}) = \ket{1, 0, (1 \land 0) \oplus 0} = \ket{100} \\[0.5em] T_{q} (\ket{101}) = \ket{1, 0, (1 \land 0) \oplus 1} = \ket{101} \\[0.5em] T_{q} (\ket{110}) = \ket{1, 1, (1 \land 1) \oplus 0} = \ket{111} \\[0.5em] T_{q} (\ket{111}) = \ket{1, 1, (1 \land 1) \oplus 1} = \ket{110} \\[0.5em] $$

行列表現は以下の通りである。

$$ T_{q} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} $$