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量子トポロジー/CCNOTゲート

量子トポロジー/CCNOTゲート

양자정보이론
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定義1

古典的トフォリゲート (a,b,c)(a,b,(ab)c)(a, b, c) \mapsto (a, b, (a \land b) \oplus c)の定義から)33キュービット a,b,c=abc\ket{a, b, c} = \ket{a} \otimes \ket{b} \otimes \ket{c}に対して、 量子トフォリゲートquantum Toffoli gate を以下のように定義する。

Tq:(C2)3(C2)3a,b,ca,b,(ab)c,a,b,c{0,1} \begin{align*} T_{q} : (\mathbb{C}^{2})^{\otimes 3} &\to (\mathbb{C}^{2})^{\otimes 3} \\ \ket{a, b, c} &\mapsto \ket{a, b, (a \land b) \oplus c},\quad \forall a,b,c \in \left\{ 0, 1 \right\} \end{align*}

CNOTq(abc)=ab(ab)c \operatorname{CNOT}_{q} (\ket{a} \otimes \ket{b} \otimes \ket{c}) = \ket{a} \otimes \ket{b} \otimes \ket{ (a \land b) \oplus c }

ここで、(C2)3(\mathbb{C}^{2})^{\otimes 3}ベクトル空間のテンソル積abc\ket{a} \otimes \ket{b} \otimes \ket{c}積ベクトル\land論理積\oplus排他的論理和である。

説明

古典的トフォリゲートの量子コンピューター版である。古典的トフォリゲートが万能ゲートであるのに対し、量子トフォリゲートは万能ゲートではない。量子トフォリゲートだけでなく、量子コンピューティングにおいては万能ゲートが存在しない。

TqT_{q}の具体的な入出力は以下の通りである。入力が110,111\ket{110}, \ket{111}の時だけ出力が変わる。

Tq(000)=0,0,(00)0=000Tq(001)=0,0,(00)1=001Tq(010)=0,1,(01)0=010Tq(011)=0,1,(01)1=011Tq(100)=1,0,(10)0=100Tq(101)=1,0,(10)1=101Tq(110)=1,1,(11)0=111Tq(111)=1,1,(11)1=110 T_{q} (\ket{000}) = \ket{0, 0, (0 \land 0) \oplus 0} = \ket{000} \\[0.5em] T_{q} (\ket{001}) = \ket{0, 0, (0 \land 0) \oplus 1} = \ket{001} \\[0.5em] T_{q} (\ket{010}) = \ket{0, 1, (0 \land 1) \oplus 0} = \ket{010} \\[0.5em] T_{q} (\ket{011}) = \ket{0, 1, (0 \land 1) \oplus 1} = \ket{011} \\[0.5em] T_{q} (\ket{100}) = \ket{1, 0, (1 \land 0) \oplus 0} = \ket{100} \\[0.5em] T_{q} (\ket{101}) = \ket{1, 0, (1 \land 0) \oplus 1} = \ket{101} \\[0.5em] T_{q} (\ket{110}) = \ket{1, 1, (1 \land 1) \oplus 0} = \ket{111} \\[0.5em] T_{q} (\ket{111}) = \ket{1, 1, (1 \land 1) \oplus 1} = \ket{110} \\[0.5em]

行列表現は以下の通りである。

Tq=[1000000001000000001000000001000000001000000001000000000100000010] T_{q} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}


  1. 김영훈·허재성, 양자 정보 이론 (2020), p97 ↩︎