交換ゲート

定義¹

$2$キュービット $\ket{a, b} = \ket{a} \otimes \ket{b}$に対して 交換 ゲート^{exchange gate} $\text{ex}$を次のように定義する。

$$ \begin{align*} \text{ex} : (\mathbb{C}^{2})^{\otimes 2} &\to (\mathbb{C}^{2})^{\otimes 2} \\ \ket{a, b} &\mapsto \ket{b, a},\quad \forall a,b \in \left\{ 0, 1 \right\} \end{align*} $$

$$ \text{ex} (\ket{a} \otimes \ket{b}) = \ket{b} \otimes \ket{a} $$

説明

交換ゲートは二つのキュービットの状態を互いに交換する。具体的な入出力は次の通りである。

$$ \text{ex} (\ket{00}) = \ket{00} \\[0.5em] \text{ex} (\ket{01}) = \ket{10} \\[0.5em] \text{ex} (\ket{10}) = \ket{01} \\[0.5em] \text{ex} (\ket{11}) = \ket{11} $$

行列表現は次のようである。

$$ \text{ex} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$