量子CNOTゲート

定義¹

（古典的な$\operatorname{CNOT}$ゲートの定義から）$2$クビット$\ket{a, b} = \ket{a} \otimes \ket{b}$に対する量子$\operatorname{CNOT}$ゲートを次のように定義する。

$$ \begin{align*} \operatorname{CNOT}_{q} : (\mathbb{C}^{2})^{\otimes 2} &\to (\mathbb{C}^{2})^{\otimes 2} \\ \ket{a, b} &\mapsto \ket{a, a \oplus b},\quad \forall a,b \in \left\{ 0, 1 \right\} \end{align*} $$

$$ \operatorname{CNOT}_{q} (\ket{a} \otimes \ket{b}) = \ket{a} \otimes \ket{a \oplus b} $$

ここで、$(\mathbb{C}^{2})^{\otimes 2}$はベクトル空間のテンソル積、$\ket{a} \otimes \ket{b}$は積ベクトル、$\oplus$は排他的論理和である。

説明

量子回路での論理否定はパウリ$X$ゲートであるため、Controlled Pauli Xゲートとも呼ばれる。

$\operatorname{CNOT}_{q}$の具体的な入出力は次の通りだ。

$$ \operatorname{CNOT}_{q} (\ket{00}) = \ket{0, 0 \oplus 0} = \ket{00} \\[0.5em] \operatorname{CNOT}_{q} (\ket{01}) = \ket{0, 0 \oplus 1} = \ket{01} \\[0.5em] \operatorname{CNOT}_{q} (\ket{10}) = \ket{1, 1 \oplus 0} = \ket{11} \\[0.5em] \operatorname{CNOT}_{q} (\ket{11}) = \ket{1, 1 \oplus 1} = \ket{10} $$

行列表現は次のようになる。

$$ \operatorname{CNOT}_{q} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} $$