行列のクロネッカー積
📂行列代数行列のクロネッカー積
定義
二つの行列 A=[aij]∈Mm×n, B∈Mp×qのクロネッカー積Kronecker productを次のように定義する。
A⊗B:=a11B⋮am1B⋯⋱⋯a1nB⋮amnB∈Mmp×nq
説明
二つの線形変換のテンソル積に対する行列表現は、それぞれの線形変換の行列表現のクロネッカー積で定義される。
乗法multiplicationとは違い、行列のサイズに関係なくうまく定義される。
性質
行列 A,B,C,Dと定数 kに対して、以下が成立する。
- 定数倍: (kA)⊗B=k(A⊗B)=A⊗(kB)
- 行列の乗法: (A⊗B)(C⊗D)=(AC)⊗(BD)
- 結合法則: (A⊗B)⊗C=A⊗(B⊗C)
- 分配法則: A⊗(B+C)=A⊗B+A⊗C
- 転置: (A⊗B)T=AT⊗BT
- トレース: tr(A⊗B)=tr(A)tr(B)
- 逆行列: (A⊗B)−1=A−1⊗B−1
- A⊗Bが可逆であれば、⟺ AとBが可逆であれば、
- 行列式: det(A⊗B)=det(A)ndet(B)p,A∈Mn×n,B∈Bp×p
行列の乗法と同様に、交換法則は成立しない。単純に A=[acbd]と単位行列 I2の乗法を見れば、
A⊗I2=a0c00a0cb0d00b0d=ac00bd0000ac00bd=I2⊗A