📂行列代数

行列のクロネッカー積

定義¹

二つの行列 $A = [a_{ij}] \in M_{m \times n}$, $B \in M_{p \times q}$のクロネッカー積^{Kronecker product}を次のように定義する。

$$ A \otimes B := \begin{bmatrix} a_{11} B & \cdots & a_{1n} B \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} B & \cdots & a_{mn} B \end{bmatrix} \in M_{mp \times nq} $$

説明

二つの線形変換のテンソル積に対する行列表現は、それぞれの線形変換の行列表現のクロネッカー積で定義される。

乗法^{multiplication}とは違い、行列のサイズに関係なくうまく定義される。

性質

行列 $A, B, C, D$と定数 $k$に対して、以下が成立する。

• 定数倍: $(kA) \otimes B = k (A \otimes B) = A \otimes (kB) \\[0.5em]$
• 行列の乗法: $(A \otimes B) (C \otimes D) = (AC) \otimes (BD) \\[0.5em]$
• 結合法則: $(A \otimes B) \otimes C = A \otimes (B \otimes C) \\[0.5em]$
• 分配法則: $A \otimes ( B + C ) = A \otimes B + A \otimes C \\[0.5em]$
• 転置: $(A \otimes B)^{T} = A^{T} \otimes B^{T} \\[0.5em]$
• トレース: $\tr(A \otimes B) = \tr(A) \tr(B) \\[0.5em]$
• 逆行列: $(A \otimes B)^{-1} = A^{-1} \otimes B^{-1}$
  • $A \otimes B$が可逆であれば、$\iff$ $A$と$B$が可逆であれば、$\\[0.5em]$
• 行列式: $\det (A \otimes B) = \det(A)^{n} \det(B)^{p},\quad A\in M_{n \times n}, B \in B_{p \times p} \\[0.5em]$

行列の乗法と同様に、交換法則は成立しない。単純に $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$と単位行列 $I_{2}$の乗法を見れば、

$$ A \otimes I_{2} = \begin{bmatrix} a & 0 & b & 0 \\ 0 & a & 0 & b \\ c & 0 & d & 0 \\ 0 & c & 0 & d \end{bmatrix} \ne \begin{bmatrix} a & b & 0 & 0 \\ c & d & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a & b \\ 0 & 0 & c & d \end{bmatrix} = I_{2} \otimes A $$