影と注入

定義¹

$n \in \mathbb{N}$と$0 \le i \le n$に対して、次の関数 $p_{i}$

$$ \begin{align*} p_{i} : &\left\{ 0, 1 \right\}^{n+1} \to \left\{ 0, 1 \right\}^{n} \\ & (a_{0}, \dots, a_{n}) \mapsto (a_{0}, \dots, a_{i-1}, a_{i+1}, \dots, a_{n}) \end{align*} $$

を射影^projectionと呼ぶ。次の二つの関数 $\imath_{i}$、$\jmath_{i}$

$$ \begin{align*} \imath : &\left\{ 0, 1 \right\}^{n} \to \left\{ 0, 1 \right\}^{n+1} \\ & (a_{0}, \dots, a_{n-1}) \mapsto (a_{0}, \dots, a_{i-1}, 0, a_{i+1}, \dots, a_{n-1}) \end{align*} $$

$$ \begin{align*} \jmath : &\left\{ 0, 1 \right\}^{n} \to \left\{ 0, 1 \right\}^{n+1} \\ & (a_{0}, \dots, a_{n-1}) \mapsto (a_{0}, \dots, a_{i-1}, 1, a_{i+1}, \dots, a_{n-1}) \end{align*} $$

を注入^injectionと呼ぶ。

説明

射影は$i$番目の真理値を削除する写像であり、注入は$i$番目の真理値を後ろに押し出して、その場所に$0$または$1$を追加する写像である。これらは回路で線を捨てたりすることによって実際に実装できるので、証明や理論的な展開などで制限なく使うことができると仮定する。