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半円上の発散する複素経路積分による有理関数の広義積分

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二つの多項関数$p(z) , q(z)$に対して、$\displaystyle f(z) = {{q(z)} \over {p(z)}}$とする。

$p(z) = 0$を満たす実数解が存在しない場合、$f$は実数の特異点を持たないだろう。このような有理関数の不適切積分$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(z) dz$が存在する条件は、$\displaystyle f(z) \sim {{1} \over {z^{p}}}$から$p > 1$である。無限級数の概念で考えた場合、$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} {{{1} \over {n^{p}}} }$が収束するための必要十分条件が$p>1$であることと関連付けることができるだろう。この条件をもっと簡潔に表すと、$\displaystyle \lim_{z \to \infty } z f(z) = 0$である。

一方で、以下のような単純閉半円路$\mathscr{C} = {\color{red}\Gamma} \cup [-R,R]$について考えてみよう。 すると、$\displaystyle \int_{\mathscr{C}} f(z) dz = { \color{red} \int_{\Gamma} f(z) dz } + \int_{-R}^{R} f(z) dz$に分割して考えることができ、$R \to \infty$ならば、もともと解こうとしている不適切積分に関する式を得ることができる。

定理 ¹

関数$f$が半径が$R$で中心が$0$の半円$\Gamma$上で連続であり、$\displaystyle \lim_{z \to \infty } z f(z) = 0$とするならば $$\lim_{R \to \infty} \int_{\Gamma} f(z) dz = 0$$

説明

上記のような補助定理があれば、$R \to \infty$の時、$\displaystyle {\color{red} \int_{\Gamma} f(z) dz } \to 0$であるため、$\displaystyle \int_{\mathscr{C}} f(z) dz = \int_{-\infty}^{\infty} f(z) dz$である。

一方で、$\displaystyle \int_{\mathscr{C}} f(z) dz$は留数定理を利用して簡単に計算することができ、不適切積分は$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(z) dz = 2 \pi i \sum \text{Res} f(z)$に落ちる。この方法は後にジョルダンの補助定理を使ったテクニックでも続けて登場する。補助定理の証明はそれほど難しくない。

証明

$\displaystyle \lim_{z \to \infty} z f(z) = 0$が与えられているので、任意の$\varepsilon >0$に対して$\displaystyle |{{1} \over {z}}| < \delta \implies |zf(z)| < \varepsilon$を満たす$\delta > 0$が存在するだろう。

$\Gamma$上で、$|z|=R$であるので、$R$に関して整理すると $${{1} \over {R}} < \delta \implies |f(z)| < { {\varepsilon} \over {R}}$$ ML補助定理により $${{1} \over {R}} < \delta \implies |\int_{\mathscr{C}} f(z) dz | < \left( R \cdot \pi + 2 R \right) \cdot { {\varepsilon} \over {R}} = ( \pi + 2 ) \varepsilon$$ 従って、$\displaystyle \lim_{R \to \infty} \int_{\Gamma} f(z) dz = 0$

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一般化

証明をよく見ると、$\Gamma$が半円である必要は特にないので、以下のような一般化が可能である。

発散する円弧上の複素パス積分: 関数$f$が半径が$R$で、中心が$0$の円弧$\Gamma : z(\theta) = R e^{i \theta} , \alpha \le \theta \le \beta$上で連続であり、$\displaystyle \lim_{z \to \infty } z f(z) = l$とするならば $$\lim_{R \to \infty} \int_{\Gamma} f(z) dz = ( \beta - \alpha) l i$$

この投稿で紹介された補助定理は、上記の一般定理から$\alpha = 0, \beta = \pi, l = 0$の場合の系である。本質的に同じ方法であるため、証明は省略する。

収縮する半円上の複素パス積分: 関数$f$が半径が$r$で、中心が$0$の半円$\gamma$上で連続であり、$\displaystyle \lim_{z \to 0 } z f(z) = 0$とするならば $$\lim_{r \to 0} \int_{\gamma} f(z) dz = 0$$

また、上記のような補助定理も難しくなく導出できる。

もちろん、半円でなくても円弧でも構わない。