📂線形代数

ベクトル空間における部分空間の和

定義¹

$W_{1}, W_{2}$をベクトル空間$V$の部分空間としよう。$W_{1}$と$W_{2}$の和^sumを$W_{1} + W_{2}$と表して、以下のように定義する。

$$W_{1} + W_{2} := \left\{ x + y : x\in W_{1}, y \in W_{2} \right\}$$

一般化²

$W_{1}, W_{2}, \dots, W_{k}$をベクトル空間$V$の部分空間としよう。これらの部分空間の和は$W_{1} + \cdots + W_{k}$と表し、以下のように定義する。

$$W_{1} + \cdots + W_{k} = \sum\limits_{i=1}^{k}W_{i} := \left\{ v_{1} + \cdots + v_{k} : v_{i} \in W_{i} \text{ for } 1 \le i \le k \right\}$$

説明

部分空間でなくても部分集合でも定義には問題ない。

定義からわかるように、必ずしもベクトル空間である必要はなく、要素の加算がうまく定義されていれば良い。したがって、$W_{1}$、$W_{2}$が群の部分群であれば、定義するのに問題はない。反対に言えば、要素同士の加算がなければ、定義できない。

参照

• 直和