三角関数の合成公式
公式
サインへの合成
$$ A \cos \theta + B \sin \theta = C\sin(\theta + \phi) $$
ここに、$C = \sqrt{A^{2} + B^{2}}$、$\phi = \sin^{-1} \left( \dfrac{A}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} \right) = \cos^{-1} \left( \dfrac{B}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} \right)$がある。
コサインへの合成
$$ A \cos \theta + B \sin \theta = C\cos(\theta - \phi) $$
ここに、$C = \sqrt{A^{2} + B^{2}}$、$\phi = \sin^{-1} \left( \dfrac{B}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} \right) = \cos^{-1} \left( \dfrac{A}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} \right)$がある。
証明
二つの項 $A \cos \theta + B \sin \theta$を $\sqrt{A^{2} + B^{2}}$にまとめると、
$$ A \cos \theta + B \sin \theta = \sqrt{A^{2} + B^{2}} \left( \dfrac{A}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}\cos \theta + \dfrac{B}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}\sin \theta \right) $$
ここで $-1 \lt \dfrac{A}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} \lt 1$であるから、この値を$\sin \phi$とおこう。
$$ \sin \phi = \dfrac{A}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} $$
そして、$\sin^{2} \phi - 1 = \cos^{2} \phi$であるから、
$$ \sin^{2} \phi - 1 = \dfrac{A^{2}}{A^{2} + B^{2}} - \dfrac{A^{2} + B^{2}}{A^{2} + B^{2}} = \dfrac{B^{2}}{A^{2} + B^{2}} = \cos \phi $$
$$ \implies \dfrac{B}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} = \cos \phi $$
今、$C = \sqrt{A^{2} + B^{2}}$としておくと、三角関数の加法定理により、
$$ A \cos \theta + B \sin \theta = C \left( \sin\phi \cos\theta + \cos\phi \sin\theta \right) = C\sin(\theta + \phi) $$