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三角関数の合成公式 📂関数

三角関数の合成公式

公式

  • サインへの合成

    $$ A \cos \theta + B \sin \theta = C\sin(\theta + \phi) $$

    ここに、$C = \sqrt{A^{2} + B^{2}}$、$\phi = \sin^{-1} \left( \dfrac{A}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} \right) = \cos^{-1} \left( \dfrac{B}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} \right)$がある。

  • コサインへの合成

    $$ A \cos \theta + B \sin \theta = C\cos(\theta - \phi) $$

    ここに、$C = \sqrt{A^{2} + B^{2}}$、$\phi = \sin^{-1} \left( \dfrac{B}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} \right) = \cos^{-1} \left( \dfrac{A}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} \right)$がある。

証明

二つの項 $A \cos \theta + B \sin \theta$を $\sqrt{A^{2} + B^{2}}$にまとめると、

$$ A \cos \theta + B \sin \theta = \sqrt{A^{2} + B^{2}} \left( \dfrac{A}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}\cos \theta + \dfrac{B}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}\sin \theta \right) $$

ここで $-1 \lt \dfrac{A}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} \lt 1$であるから、この値を$\sin \phi$とおこう。

$$ \sin \phi = \dfrac{A}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} $$

そして、$\sin^{2} \phi - 1 = \cos^{2} \phi$であるから、

$$ \sin^{2} \phi - 1 = \dfrac{A^{2}}{A^{2} + B^{2}} - \dfrac{A^{2} + B^{2}}{A^{2} + B^{2}} = \dfrac{B^{2}}{A^{2} + B^{2}} = \cos \phi $$

$$ \implies \dfrac{B}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} = \cos \phi $$

今、$C = \sqrt{A^{2} + B^{2}}$としておくと、三角関数の加法定理により、

$$ A \cos \theta + B \sin \theta = C \left( \sin\phi \cos\theta + \cos\phi \sin\theta \right) = C\sin(\theta + \phi) $$