凸関数の様々な性質
定理1
$f$が増加する凸関数であり、$g$が凸関数であるならば、$f \circ g$も凸関数である。
$f$が$(a, b)$で凸であり、$a \lt s \lt t \lt u \lt b$であるならば、 $$ \dfrac{f(t) - f(s)}{t-s} \le \dfrac{ f(u) - f(s) }{ u - s } \le \dfrac{ f(u) - f(t) }{ u - t } $$
$f$が次を満たす$(a, b)$で定義された連続関数であるならば、凸関数である。 $$ f \left( \dfrac{ x + y }{ 2 } \right) \le \dfrac{ f(x) + f(y) }{ 2 },\quad x,y \in (a,b) $$
$f=F^{\prime}$を増加関数とする。すると$F$は凸である。
証明
5.2
$a\le x \le y \le b$としよう。
$$ \begin{align*} F(y) - F(\frac{ x + y }{ 2 }) &= \int_{\frac{ x + y }{ 2 }}^{y} f(t) dt \\ F(\frac{ x + y }{ 2 }) - F(x) &= \int_{x}^{\frac{ x + y }{ 2 }} f(t) dt \end{align*} $$
$f$が増加関数であるため、
$$ \int_{x}^{\frac{ x + y }{ 2 }} f(t) dt \le \int_{\frac{ x + y }{ 2 }}^{y} f(t) dt \ge $$
$$ \implies F(\frac{ x + y }{ 2 }) - F(x) \le F(y) - F(\frac{ x + y }{ 2 }) $$
$$ 2 \implies F(\frac{ x + y }{ 2 }) \le F(y) + F(x) $$
$$ \implies F(\frac{ x + y }{ 2 }) \le \dfrac{ F(y) + F(x) }{ 2 } $$
4.によって、$F$は凸である。
■
Walter Rudin, Principles of Mathmatical Analysis (3rd Edition, 1976), p101 ↩︎
https://math.stackexchange.com/questions/1318407/integral-of-an-increasing-function-is-convex ↩︎