📂線形代数

商空間上の線形変換

定義 ¹

$V$をベクトル空間、$T : V \to V$を線形変換としよう。$W \le V$を$T$-不変 部分空間としよう。商空間上の線形変換 $\overline{T}$を次のように定義する。

$$ \begin{align*} \overline{T} : V/W &\to V/W \\ v + W &\mapsto T(v) + W \end{align*} $$

ここで、$V/W$は商空間である。

定理

(a) $\overline{T}$はよく定義される。

(b) $\overline{T}$は実際に線形変換である。

(c) 商空間への写像 $\eta : V \to V/W$に対して、$\eta T = \overline{T} \eta$である。つまり、次の図は交換可能である。

$$ \begin{CD} V @>T>> V \\\ @VV \eta V @VV \eta V \\\ V/W @> \overline{T} >> V/W \end{CD} $$

証明

(a)

$v_{1} + W = v_{2} + W$のとき、$\overline{T}(v_{1} + W) = \overline{T}(v_{2} + W)$であることを示せばよい。$v_{1} + W = v_{2} + W$とする。剰余類の性質により、これは$v_{1} - v_{2} \in W$と同値である。したがって、$W$が$T$-不変であり、$T$が線形変換であるため、

$$ T(v_{1}) - T(v_{2}) = T(v_{1} - v_{2}) \in W $$

したがって、$T(v_{1}) - T(v_{2}) \in W \iff T(v_{1}) + W = T(v_{2}) + W$であるので、

$$ v_{1} + W = v_{2} + W \implies \overline{T}(v_{1} + W) = \overline{T}(v_{2} + W) $$

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(b)

剰余類の加算とスカラー乗算

$$ (v_{1} + W) + (v_{2} + W) = (v_{1} + v_{2}) + W,\quad \forall v_{1}, v_{2} \in V $$

$$ a(v + W) = av + W\quad \forall v \in V \text{ and } a \in F $$

$T$が線形変換であるため、

$$ \begin{align*} \overline{T}\left( (av_{1} + v_{2}) + W \right) &= T(av_{1} + v_{2}) + W \\ &= \left( aT(v_{1}) + T(v_{2}) \right) + W \\ &= \left( aT(v_{1}) + W \right) + \left( T(v_{2}) + W \right) \\ &= a\left( T(v_{1}) + W \right) + \overline{T}(v_{2} + W) \\ &= a\overline{T}(v_{1} + W) + \overline{T}(v_{2} + W) \\ \end{align*} $$

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(c)

定義より、容易に示すことができる。

$$ \begin{align*} \eta\left( T(v) \right) &= T(v) + W \\ &= \overline{T}(v + W) \\ &= \overline{T}\left( \eta (v) \right) \end{align*} $$

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