線形代数学における剰余類と商空間
📂線形代数線形代数学における剰余類と商空間
定義
VをF-ベクトル空間、W≤Vを部分空間としよう。v∈Vについて、以下の集合
{v}+W:={v+w:w∈W}
をvを含むWの剰余類W containing vの剰余類という。+は集合の和だ。
説明
普通、{v}+Wを簡単にv+Wと表記する。
Wの全ての剰余類の集合を{v+W:v∈V}と考える。加法と(Fによる)スカラー倍を以下のように定義する。
(v1+W)+(v2+W)=(v1+v2)+W,∀v1,v2∈V
a(v+W)=av+W∀v∈V and a∈F
するとこの集合は再びF-ベクトル空間となる。このベクトル空間をV/Wと表記し、Wによって割ったVの商空間V modulo Wの商空間という。
定理
(a) v+WがVの部分空間であることはv∈Wと同値である。(代数での証明)
(b) v1,v2∈Vに対して、v1+W=v2+Wであることはv1−v2∈Wであることと同値である。(代数での証明)
(c) V/Wはベクトル空間であり、ゼロベクトルは0V+W=Wである。(0VはVのゼロベクトルだ。)
証明
(a)
(⟹)を仮定する
v+WがVの部分空間だと仮定する。それならば、0VをVのゼロベクトルとするとき、0V∈v+Wが成り立つ。したがって、あるw∈Wに対して0V=v+w及びw=−v∈Wが成り立ち、WはVの部分空間であるためスカラー倍に対して閉じており、v=−(−v)∈Wが成り立つ。
(⟸)を仮定する
v∈Wと仮定する。v+WがVの部分空間であることを示すには加法とスカラー倍に対して閉じていることを示せばよい。 v+w1,v+w2∈v+Wとしよう。これを足すと以下のようになる。
(v+w1)+(v1+w2)=v+(v+w1+w2)
Wは部分空間であるため加法に対して閉じており、仮定によりvはWの元であるため、あるw3∈Wに対して以下が成り立つ。
v+(v+w1+w2)=v+w3∈W
今、a∈Fとしよう。すると同様に、あるw4∈Wに対して以下が成り立つ。
a(v+w)=v+((a−1)v+aw)=v+w4∈W
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(b)
(⟹)を仮定する
v1+W=v2+Wと仮定する。それならばVのゼロベクトル0Vとあるw∈Wに対して以下が成り立つ。
v1+0V=v2+w⟹v1−v2=w∈W
(⟸)を仮定する
v1−v2∈Wと仮定する。それならば
v2+W={v2+w:w∈W}={v2+((v1−v2)+w):w∈W}={v1+w:w∈W}=v1+W
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参照
