線形代数学における剰余類と商空間 📂線形代数

線形代数学における剰余類と商空間

定義¹

$V$を$F$-ベクトル空間、$W \le V$を部分空間としよう。$v \in V$について、以下の集合

$$ \left\{ v \right\} + W := \left\{ v + w : w \in W \right\} $$

を$v$を含む$W$の剰余類^{$W$ containing $v$の剰余類}という。$+$は集合の和だ。

普通、$\left\{ v \right\} + W$を簡単に$v + W$と表記する。

$W$の全ての剰余類の集合を$\left\{ v + W : v \in V \right\}$と考える。加法と($F$による)スカラー倍を以下のように定義する。

$$ (v_{1} + W) + (v_{2} + W) = (v_{1} + v_{2}) + W,\quad \forall v_{1}, v_{2} \in V $$

$$ a(v + W) = av + W\quad \forall v \in V \text{ and } a \in F $$

するとこの集合は再び$F$-ベクトル空間となる。このベクトル空間を$V/W$と表記し、$W$によって割った$V$の商空間^{$V$ modulo $W$の商空間}という。

(a) $v + W$が$V$の部分空間であることは$v \in W$と同値である。(代数での証明)

(b) $v_{1}, v_{2} \in V$に対して、$v_{1} + W = v_{2} + W$であることは$v_{1} - v_{2} \in W$であることと同値である。(代数での証明)

(c) $V/W$はベクトル空間であり、ゼロベクトルは$0_{V} + W = W$である。($0_{V}$は$V$のゼロベクトルだ。)

$(\Longrightarrow)$を仮定する
$v + W$が$V$の部分空間だと仮定する。それならば、$0_{V}$を$V$のゼロベクトルとするとき、$0_{V} \in v + W$が成り立つ。したがって、ある$w \in W$に対して$0_{V} = v + w$及び$w = -v \in W$が成り立ち、$W$は$V$の部分空間であるためスカラー倍に対して閉じており、$v = -(-v) \in W$が成り立つ。
$(\Longleftarrow)$を仮定する
$v \in W$と仮定する。$v + W$が$V$の部分空間であることを示すには加法とスカラー倍に対して閉じていることを示せばよい。 $v + w_{1}, v + w_{2} \in v + W$としよう。これを足すと以下のようになる。
$$ (v + w_{1}) + (v_{1} + w_{2}) = v + (v + w_{1} + w_{2}) $$
$W$は部分空間であるため加法に対して閉じており、仮定により$v$は$W$の元であるため、ある$w_{3} \in W$に対して以下が成り立つ。
$$ v + (v + w_{1} + w_{2}) = v + w_{3} \in W $$
今、$a \in F$としよう。すると同様に、ある$w_{4} \in W$に対して以下が成り立つ。
$$ a(v + w) = v + \left( (a-1)v + aw \right) = v + w_{4} \in W $$

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$(\Longrightarrow)$を仮定する
$v_{1} + W = v_{2} + W$と仮定する。それならば$V$のゼロベクトル$0_{V}$とある$w \in W$に対して以下が成り立つ。
$$ v_{1} + 0_{V} = v_{2} + w \implies v_{1} - v_{2} = w \in W $$
$(\Longleftarrow)$を仮定する
$v_{1} - v_{2} \in W$と仮定する。それならば
$$ \begin{align*} v_{2} + W &= \left\{ v_{2} + w : w \in W \right\} \\ &= \left\{ v_{2} + \left( (v_{1} - v_{2}) + w \right) : w \in W \right\} \\ &= \left\{ v_{1} + w : w \in W \right\} \\ &= v_{1} + W \end{align*} $$

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